Упр.816 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В трапецию с основаниями $$a$$ и $$b$$ можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.
- В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена биссектриса $$AD$$. Прямая, проведённая через точку $$D$$ перпендикулярно к $$AD$$, пересекает прямую $$AC$$ в точке $$E$$. Точки $$M$$ и $$K$$ — основания перпендикуляров, проведённых из точек $$B$$ и $$D$$ к прямой $$AC$$. Найдите $$MK$$, если $$AE=a$$.
Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$, $$AD$$ — биссектриса угла при вершине $$A$$, $$DE\perp AD$$, $$K$$ и $$M$$ — основания перпендикуляров из точек $$D$$ и $$B$$ на прямую $$AC$$.
Обозначим через $$F$$ точку на стороне $$AB$$ такую, что $$DE=DF$$. Тогда $$\triangle FAE$$ — равнобедренный, а значит, $$AD$$ в нём является и высотой, и медианой. Следовательно, $$AF=AE=a$$ и
$$FD=DE=\frac12\,FE.$$
Проведём через $$D$$ прямую $$GD\parallel AC$$, где $$G\in AB$$. Тогда $$\triangle FGD\sim \triangle FAE$$, поэтому
$$\frac{GD}{AE}=\frac{FD}{FE}=\frac12,$$
откуда
$$GD=\frac12\,AE=\frac a2.$$
Так как $$GD\parallel AC$$, то $$\triangle GBD\sim \triangle ABC$$. Поскольку $$AB=BC$$, получаем $$GB=GD$$, значит, $$\triangle GBD$$ равнобедренный.
Пусть $$H=GD\cap BM$$. Тогда $$BM\perp AC$$ и $$GD\parallel AC$$, следовательно, $$BH\perp GD$$. В равнобедренном треугольнике $$GBD$$ высота $$BH$$ является также медианой, значит, $$H$$ — середина $$GD$$. Тогда
$$GH=HD=\frac12\,GD=\frac14\,a.$$
Рассмотрим четырёхугольник $$MHDK$$. Имеем $$BM\perp AC$$ и $$DK\perp AC$$, значит, $$HM\parallel DK$$. Кроме того, $$HD\parallel MK$$, так как $$HD\subset GD$$ и $$GD\parallel AC$$, а точки $$M,K$$ лежат на $$AC$$. Следовательно, $$MHDK$$ — параллелограмм, поэтому
$$MK=HD=\frac a4.$$
Ответ: $$MK=\frac a4$$.
