Упр.815 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат. Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

1) Пусть в параллелограмм $$ABCD$$ можно вписать окружность и можно описать около него окружность.

Так как в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, значит

$$2AB=2BC,$$

откуда

$$AB=BC.$$

Следовательно, параллелограмм имеет равные соседние стороны, то есть является ромбом.

Так как около параллелограмма можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

В параллелограмме $$\angle A=\angle C$$, значит

$$2\angle A=180^\circ,\qquad \angle A=90^\circ.$$

Тогда все углы параллелограмма прямые, а значит, это прямоугольник.

Итак, данный параллелограмм одновременно является ромбом и прямоугольником, следовательно, это квадрат.

2) Докажем, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$ и прямую $$AC$$.

Если четырёхугольник выпуклый, то точки $$B$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AC$$, так как вершины выпуклого четырёхугольника расположены по разные стороны от диагонали.

Если четырёхугольник невыпуклый, то одна из его вершин лежит внутри треугольника, образованного тремя другими. Пусть, например, точка $$C$$ лежит внутри треугольника $$ABD$$. Тогда прямая $$AC$$ пересекает сторону $$BD$$ в точке $$E$$. Следовательно, точки $$B$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AC$$.

В обоих случаях найдутся две противоположные вершины, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Ответ

$$ABCD$$ — квадрат; в любом четырёхугольнике две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.