Упр.815 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.
2. Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Пусть в параллелограмм $$ABCD$$ можно вписать окружность и можно описать около него окружность.

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Тогда из равенства получаем:

$$AB+AB=BC+BC,$$

откуда

$$AB=BC.$$

Значит, у параллелограмма соседние стороны равны, следовательно, он является ромбом.

Теперь используем то, что около четырёхугольника можно описать окружность. Для вписанного в окружность четырёхугольника сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

В параллелограмме противоположные углы равны, то есть

$$\angle A=\angle C.$$

Тогда

$$\angle A+\angle A=180^\circ,$$

следовательно,

$$\angle A=90^\circ.$$

Значит, все углы параллелограмма прямые. Итак, параллелограмм, у которого можно и вписать, и описать окружность, является прямоугольником и ромбом одновременно, то есть квадратом.

Ответ: $$ABCD$$ — квадрат.