Упр.814 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см.
2. Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.

Так как треугольник $$ABC$$ равносторонний, то его центр вписанной и описанной окружностей совпадает. Обозначим этот центр через $$O$$.

Пусть $$BH$$ — высота равностороннего треугольника. Тогда она является и биссектрисой, и медианой. В равностороннем треугольнике центр делит высоту в отношении $$2:1$$, считая от вершины, поэтому

$$BO=2r,$$

где $$r$$ — радиус вписанной окружности, а $$BO=R=10\text{ см}$$ — радиус описанной окружности.

Следовательно,

$$r=\frac{R}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

Ответ: $$5\text{ см}$$.