Упр.813 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ из точки $$M$$ стороны $$AC$$ проведён перпендикуляр $$MH$$ к гипотенузе $$AB$$. Докажите, что углы $$MHC$$ и $$MBC$$ равны.
2. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Рассмотрим четырёхугольник $$BCHM.$$

Так как $$\angle BCH=90^\circ$$, поскольку $$BC\perp AC$$, а точки $$H$$ и $$M$$ лежат на прямой $$AC,$$ и по условию $$MH\perp AB,$$ то $$\angle BHM=90^\circ.$$

Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем $$\angle B+\angle C=90^\circ.$$ Тогда

$$\angle B+\angle M+\angle C+\angle H=360^\circ,$$

откуда

$$\angle C+\angle H=\angle B+\angle M=180^\circ.$$

Следовательно, вокруг четырёхугольника $$BCHM$$ можно описать окружность.

Тогда углы $$\angle MHC$$ и $$\angle MBC$$ — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу $$MC,$$ значит, они равны:

$$\angle MHC=\angle MBC.$$