Упр.813 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В прямоугольном треугольнике ABC из точки М стороны АС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ. Докажите, что углы МНС и МВС равны. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Подробный ответ

1) Рассмотрим четырёхугольник $$BCHM.$$

Так как $$\angle BCH=90^\circ$$, поскольку $$BC \perp AC,$$ а точка $$H$$ лежит на $$AC,$$ и $$\angle BHM=90^\circ$$ по условию, то

$$\angle BCH+\angle BHM=180^\circ.$$

Следовательно, вокруг четырёхугольника $$BCHM$$ можно описать окружность.

Тогда углы $$\angle MHC$$ и $$\angle MBC$$ опираются на одну и ту же дугу $$MC,$$ значит, они равны:

$$\angle MHC=\angle MBC.$$

Что и требовалось доказать.

2) Пусть дана плитка в виде произвольного выпуклого четырёхугольника $$ABCD.$$ Обозначим его углы через $$\angle A=\alpha,$$ $$\angle B=\beta,$$ $$\angle C=\gamma,$$ $$\angle D=\delta.$$ Тогда

$$\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ.$$

Построим из одинаковых четырёхугольников полосу: к стороне $$AD$$ приложим следующую плитку так, чтобы она была отражением первой относительно $$AD.$$ Аналогично продолжим прикладывать плитки к следующим сторонам. В результате получим полосу из треугольников, а затем из таких полос можно составить покрытие плоскости.

Теперь рассмотрим стык четырёх плиток в одной точке. Их углы при этой точке равны $$\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta,$$ а сумма этих углов равна $$360^\circ.$$ Значит, вокруг точки плитки сомкнутся без зазоров и наложений.

Следовательно, из одинаковых выпуклых четырёхугольников можно составить паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.