Упр.812 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.
- Положительные числа $$a_1$$, $$a_2$$, $$a_3$$, $$a_4$$, $$a_5$$ и $$a_6$$ удовлетворяют условию $$a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6$$. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$, все углы которого равны, причём $$A_1A_2=a_1$$, $$A_2A_3=a_2$$, $$A_3A_4=a_3$$, $$A_4A_5=a_4$$, $$A_5A_6=a_5$$ и $$A_6A_1=a_6$$.
Пусть биссектрисы углов трапеции пересекаются в точках $$A,$$ $$B,$$ $$C,$$ $$D$$ так, что получается выпуклый четырёхугольник $$ABCD.$$
Обозначим углы трапеции через $$\angle M$$ и $$\angle E$$ у одной боковой стороны. Так как $$EF \parallel MN,$$ то односторонние углы при секущей дополняют друг друга до $$180^\circ$$, значит
$$\angle M+\angle E=180^\circ.$$
Пусть биссектриса угла $$M$$ делит его на два равных угла $$\angle 1=\angle 2=x,$$ а биссектриса угла $$E$$ — на два равных угла $$\angle 3=\angle 4=y.$$ Тогда
$$2x+2y=180^\circ,$$
откуда
$$x+y=90^\circ.$$
Следовательно, угол между биссектрисами равен
$$\angle A= \angle 1+\angle 3=90^\circ.$$
Аналогично получаем
$$\angle C=90^\circ.$$
Теперь рассмотрим четырёхугольник $$ABCD.$$ Сумма его углов равна $$360^\circ,$$ поэтому
$$\angle B+\angle D=360^\circ-\angle A-\angle C=360^\circ-180^\circ=180^\circ.$$
Значит, сумма противоположных углов четырёхугольника $$ABCD$$ равна $$180^\circ,$$ а следовательно, около него можно описать окружность.
Ответ
Около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность, так как $$\angle A+\angle C=180^\circ$$ и, значит, $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник.
