Упр.811 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точки $$A$$ и $$B$$ проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла $$AOB$$ и пересекающиеся в точке $$C$$ внутри угла. Докажите, что около четырёхугольника $$ACBO$$ можно описать окружность.
2. Дан выпуклый шестиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$, все углы которого равны. Докажите, что $$A_1A_2-A_4A_5=A_5A_6-A_2A_3=A_3A_4-A_6A_1$$.

Пусть $$\angle A_1=\angle A_2=\angle A_3=\angle A_4=\angle A_5=\angle A_6=\alpha.$$

Так как шестиугольник выпуклый, то сумма его внутренних углов равна $$180^\circ\cdot(6-2)=720^\circ.$$

Следовательно,

$$6\alpha=720^\circ,\qquad \alpha=120^\circ.$$

Тогда смежные с ними углы равны $$60^\circ.$$

Продолжим стороны $$A_1A_6,\ A_2A_3,\ A_4A_5$$ и получим равносторонние треугольники. Поэтому

$$B_1B_2=B_2B_3=B_1B_3,$$

то есть треугольник $$B_1B_2B_3$$ равносторонний.

Обозначим:

$$A_1A_2=a_1,\quad A_2A_3=a_2,\quad A_3A_4=a_3,\quad A_4A_5=a_4,\quad A_5A_6=a_5,\quad A_6A_1=a_6.$$

Из равенства соответствующих отрезков получаем:

$$a_1+a_2=a_4+a_5,\qquad a_3+a_4=a_6+a_1.$$

Вычитая из первого равенства второе, имеем

$$a_1-a_4=a_5-a_2.$$

Аналогично из равенства длин сторон, полученных при построении равносторонних треугольников, следует

$$a_1-a_4=a_3-a_6.$$

Значит,

$$a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6,$$

то есть

$$A_1A_2-A_4A_5=A_5A_6-A_2A_3=A_3A_4-A_6A_1.$$