Упр.811 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла АОВ и пересекающиеся в точке С внутри угла. Докажите, что около четырёхугольника АСВО можно описать окружность. Дан выпуклый шестиугольник А1А2А3A4A5A6, все углы которого равны. Докажите, что А1А2 — А4А5 = А5А6 — А2А3 = А3А4 — А6А1.

Подробный ответ

1) Так как $$AC \perp AO$$ и $$BC \perp BO,$$ то

$$\angle OAC=90^\circ,\qquad \angle OBC=90^\circ.$$

2) Сумма углов четырёхугольника $$ACBO$$ равна $$360^\circ$$:

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle O=360^\circ.$$

Поскольку $$\angle A=\angle OAC=90^\circ$$ и $$\angle B=\angle OBC=90^\circ,$$ получаем

$$\angle O+\angle C=360^\circ-(90^\circ+90^\circ)=180^\circ.$$

3) Противоположные углы четырёхугольника $$ACBO$$ в сумме дают $$180^\circ,$$ значит, около него можно описать окружность.

Это и требовалось доказать.

Ход решения

Обозначим:

$$A_1A_2=a_1,\quad A_2A_3=a_2,\quad A_3A_4=a_3,\quad A_4A_5=a_4,\quad A_5A_6=a_5,\quad A_6A_1=a_6.$$

Проведём продолжения сторон $$A_1A_6,$$ $$A_2A_3,$$ $$A_4A_5.$$ Тогда получим треугольники с вершинами вне шестиугольника. Так как все углы выпуклого шестиугольника равны, то

$$6\alpha=180^\circ\cdot(6-2),$$

откуда

$$\alpha=\frac{180^\circ\cdot 4}{6}=120^\circ.$$

Следовательно, смежные с ними углы равны $$60^\circ.$$ Значит, треугольники $$\triangle B_1A_6A_5,$$ $$\triangle B_1A_1A_2,$$ $$\triangle B_2A_2A_3,$$ $$\triangle B_2A_3A_4,$$ $$\triangle B_3A_4A_5,$$ $$\triangle B_3A_5A_6$$ — равносторонние, поэтому

$$B_1B_2=B_2B_3=B_1B_3.$$

Отсюда получаем равенство сумм:

$$a_1+a_2+a_3=a_3+a_4+a_5=a_5+a_6+a_1.$$

Из первых двух равенств:

$$a_1+a_2=a_4+a_5,$$

то есть

$$a_1-a_4=a_5-a_2.$$

Из второго и третьего:

$$a_3+a_4=a_6+a_1,$$

то есть

$$a_1-a_4=a_3-a_6.$$

Следовательно,