Упр.810 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
- Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.
Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AB \parallel CD$$, а $$MN$$ — её средняя линия. Обозначим через $$O$$ вершину угла, образованного биссектрисами углов $$\angle ABC$$ и $$\angle BAD$$. Докажем, что $$O \in MN$$.
Проведём из точки $$O$$ перпендикуляры к основаниям трапеции: $$OF \perp BC$$, $$OE \perp AB$$, $$OH \perp AD$$.
Так как точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон, то из того, что $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$ABC$$, получаем
$$OF=OE.$$
Аналогично, поскольку $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$BAD$$, имеем
$$OE=OH.$$
Следовательно,
$$OF=OH.$$
Значит, точка $$O$$ равноудалена от прямых $$BC$$ и $$AD$$. Но средняя линия трапеции проходит посередине между основаниями, то есть все её точки равноудалены от прямых, содержащих основания трапеции. Поэтому точка $$O$$ лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.
Ответ: $$O \in MN$$.
