Упр.81 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Отрезок длины m разделён: а) на три равные части; б) на пять равных частей. Найдите расстояние между серединами крайних частей. Угол hk равен 120°, а угол hm равен 150°. Найдите угол km. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.
Пусть отрезок длины $$m$$ разделён на $$n$$ равных частей. Тогда длина одной части равна $$\frac{m}{n}$$.
Середина первой части находится на расстоянии $$\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{n}$$ от начала отрезка, а середина последней части — на расстоянии $$m-\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{n}$$.
Искомое расстояние между серединами крайних частей равно:
$$ m-\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{n}-\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{n} = m-\frac{m}{n} = \frac{n-1}{n}m. $$
а) При $$n=3$$:
$$ \frac{n-1}{n}m=\frac{3-1}{3}m=\frac{2}{3}m. $$
б) При $$n=5$$:
$$ \frac{n-1}{n}m=\frac{5-1}{5}m=\frac{4}{5}m. $$
Теперь найдём угол $$\angle km$$.
Рассмотрим два возможных случая расположения лучей.
1) Луч $$hk$$ лежит внутри угла $$\angle mh$$. Тогда
$$ \angle hm=\angle hk+\angle km, $$
откуда
$$ \angle km=\angle hm-\angle hk=150^\circ-120^\circ=30^\circ. $$
2) Лучи $$hk$$ и $$hm$$ расположены по разные стороны от луча $$ht$$ (то есть угол $$\angle km$$ получается как сумма данных углов). Тогда
$$ \angle km=\angle hk+\angle hm=120^\circ+150^\circ=270^\circ. $$
Ответ
а) $$\frac{2}{3}m$$; б) $$\frac{4}{5}m$$; $$\angle km=30^\circ$$ или $$270^\circ$$.
