Упр.808 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а и b. Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство OA + OC=OB + OD.

Подробный ответ

Пусть в прямоугольной трапеции с основаниями $$a$$ и $$b$$ вписана окружность радиуса $$r$$. Проведём высоту $$CH$$ к основанию, тогда $$CH=2r$$.

Так как трапеция прямоугольная, то $$AB=CH=2r$$, а также

$$DH=AD-AH= b-a.$$

Для четырёхугольника, описанного около окружности, сумма длин противоположных сторон равна:

$$CD+BA=BC+AD.$$

Отсюда

$$CD=BC+AD-BA=a+b-2r.$$

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $$CHD$$:

$$CD^2=CH^2+HD^2,$$

то есть

$$ (a+b-2r)^2=(2r)^2+(b-a)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ a^2+2ab+b^2-4ar-4br+4r^2=4r^2+b^2-2ab+a^2. $$

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем:

$$ 4ab-4ar-4br=0. $$

Тогда

$$ r(a+b)=ab, $$

следовательно,

$$ r=\frac{ab}{a+b}. $$

Докажем теперь равенство $$OA+OC=OB+OD$$.

Пусть $$A$$ и $$C$$ — середины противоположных сторон четырёхугольника, а $$B$$ и $$D$$ — середины двух других его сторон. Тогда $$BC$$ и $$AD$$ — средние линии соответствующих треугольников, поэтому

$$BC \parallel AD \quad \text{и} \quad BC=AD.$$

Рассмотрим векторы:

$$ \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}, $$
$$ \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}. $$

Так как $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$$, то

$$ \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}. $$

Переносим слагаемые:

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}. $$

Что и требовалось доказать.