Упр.808 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями $$a$$ и $$b$$.
Точки $$A$$ и $$C$$ — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки $$B$$ и $$D$$ — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки $$O$$ верно равенство $$OA+OC=OB+OD$$.

Подробный ответ

Обозначим середины сторон четырёхугольника так, как на рисунке: точки $$A$$ и $$C$$ — середины противоположных сторон, а точки $$B$$ и $$D$$ — середины двух других сторон. Проведём через середины отрезки, соединяющие их.

Так как $$BC$$ — средняя линия треугольника с вершинами в двух соседних вершинах четырёхугольника, то

$$BC \parallel AD,\qquad BC=\frac12 B_1D_1,\qquad AD=\frac12 B_1D_1,$$

откуда $$BC=AD$$.

Теперь рассмотрим векторы:

$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC},$$

$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}.$$

Так как $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$$, то

$$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}.$$

Перенесём слагаемые:

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}.$$

Следовательно, для любой точки $$O$$ выполняется равенство

$$OA+OC=OB+OD.$$