Упр.807 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC, О — произвольная точка. Докажите, что ОА + ОВ + ОС = 0А1 + ОВ1 + OC1.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ середины сторон $$BC,\;CA,\;AB$$ соответственно. Тогда

$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\overrightarrow{BC},\qquad \overrightarrow{BB_1}=\frac12\overrightarrow{CA},\qquad \overrightarrow{CC_1}=\frac12\overrightarrow{AB}.$$

Для произвольной точки $$O$$ имеем:

$$\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AA_1},$$
$$\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BB_1},$$
$$\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CC_1}.$$

Сложим эти равенства:

$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}.$$

Осталось доказать, что

$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec 0.$$

Действительно, так как $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ — середины сторон треугольника $$ABC$$, то

$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC},$$
$$\overrightarrow{BB_1}=-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC},$$
$$\overrightarrow{CC_1}=-\frac12\overrightarrow{AC}-\frac12\overrightarrow{BC}.$$

Тогда

$$ \overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1} = \left(\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\right) +\left(-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}\right) +\left(-\frac12\overrightarrow{AC}-\frac12\overrightarrow{BC}\right) =\vec 0. $$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$

Что и требовалось доказать.