Упр.807 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$, $$O$$ — произвольная точка. Докажите, что $$OA + OB + OC = OA_1 + OB_1 + OC_1$$.

Подробный ответ

Обозначим середины сторон треугольника $$ABC$$ через $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1.$$ Тогда, так как $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ — медианы, имеем:

$$\overrightarrow{BA_1}=\frac12\overrightarrow{BC},\qquad \overrightarrow{CB_1}=\frac12\overrightarrow{CA},\qquad \overrightarrow{AC_1}=\frac12\overrightarrow{AB}.$$

Запишем векторные выражения для радиус-векторов точек $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ относительно произвольной точки $$O$$:

$$\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AA_1},$$
$$\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BB_1},$$
$$\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CC_1}.$$

Сложим эти равенства:

$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} + \left(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}\right).$$

Осталось доказать, что

$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec 0.$$

Так как $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ — середины сторон, то

$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),$$
$$\overrightarrow{BB_1}=\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right),$$
$$\overrightarrow{CC_1}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right).$$

Тогда

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1} &=\frac12\Bigl(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\Bigr)\\ &=\frac12\Bigl((\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})\Bigr)\\ &=\vec 0. \end{aligned}$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$