Упр.806 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.
- Точка $$C$$ делит отрезок $$AB$$ в отношении $$m:n$$, считая от точки $$A$$. Докажите, что для любой точки $$O$$ справедливо равенство $$OC=\frac{n}{m+n}OA+\frac{m}{m+n}OB$$.
Пусть трапеция $$ABCD$$ такова, что прямые $$BC$$ и $$AD$$ касаются окружности с центром $$O$$ в точках $$E$$ и $$N$$ соответственно. Обозначим через $$F$$ и $$K$$ середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$.
Докажем, что $$O \in FK$$.
Так как $$BC$$ и $$AD$$ — касательные, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны этим прямым:
$$OE \perp BC,\qquad ON \perp AD.$$
Кроме того, в трапеции $$BC \parallel AD$$, значит, прямые $$OE$$ и $$ON$$ лежат на одной прямой, перпендикулярной основаниям трапеции. Следовательно, точки $$E, O, N$$ коллинеарны.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точка $$F$$ — середина стороны $$AB$$, а прямая через центр окружности и точку касания $$E$$ перпендикулярна основанию $$BC$$. Аналогично для треугольника $$ADC$$ точка $$K$$ — середина стороны $$CD$$, а центр $$O$$ лежит на перпендикуляре к $$AD$$ через точку касания $$N$$.
Так как $$F$$ и $$K$$ — середины боковых сторон трапеции, то $$FK$$ является средней линией трапеции, а значит,
$$FK \parallel BC \parallel AD.$$
Через центр $$O$$ проведена прямая, перпендикулярная основаниям трапеции, то есть перпендикулярная и $$BC$$, и $$AD$$. Эта прямая пересекает среднюю линию трапеции в её середине. Следовательно, точка $$O$$ лежит на прямой $$FK$$.
Итак, $$O \in FK$$, что и требовалось доказать.
