Упр.805 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Четырёхугольник $$ABCD$$ описан около окружности радиуса $$r$$. Известно, что $$AB:CD=2:3$$, $$AD:BC=2:1$$. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна $$S$$.
2. Три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ расположены так, что $$BC=\frac{1}{2}AB$$. Докажите, что для любой точки $$O$$ справедливо равенство $$OB=\frac{1}{3}OA+\frac{2}{3}OC$$.

Пусть $$AB=2x,$$ тогда $$CD=3x.$$

Так как четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Кроме того, площадь описанного четырёхугольника выражается формулой

$$S=r\cdot p,$$

где $$r$$ — радиус вписанной окружности, $$p$$ — полупериметр. Тогда

$$p=\frac{S}{r}.$$

Но для описанного четырёхугольника

$$AB+CD=BC+AD=p=\frac{S}{r}.$$

С другой стороны,

$$AB+CD=2x+3x=5x,$$

значит

$$5x=\frac{S}{r}, \qquad x=\frac{S}{5r}.$$

Тогда

$$AB=2x=\frac{2S}{5r}, \qquad CD=3x=\frac{3S}{5r}.$$

Пусть теперь $$AD=2y,$$ тогда $$BC=y.$$ Из условия $$AD:BC=2:1$$ получаем

$$AD+BC=3y=\frac{S}{r},$$

откуда

$$y=\frac{S}{3r}.$$

Следовательно,

$$BC=\frac{S}{3r}, \qquad AD=\frac{2S}{3r}.$$

Ответ: $$AB=\frac{2S}{5r},\; CD=\frac{3S}{5r},\; BC=\frac{S}{3r},\; AD=\frac{2S}{3r}.$$