Упр.803 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На хорде $$AB$$ окружности с центром $$O$$ выбрана произвольная точка $$C$$. Через точки $$A$$, $$O$$ и $$C$$ проходит окружность, которая пересекает данную окружность в точке $$D$$. Докажите, что треугольник $$BCD$$ равнобедренный.
- На сторонах $$MN$$ и $$NP$$ треугольника $$MNP$$ отмечены соответственно точки $$X$$ и $$Y$$ так, что $$\frac{MX}{XN}=\frac{3}{2}$$ и $$\frac{NY}{YP}=\frac{3}{2}$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{XY}$$ и $$\overrightarrow{MP}$$ через векторы $$\vec a=\overrightarrow{NM}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{NP}$$.
Обозначим через $$\overset{\frown}{AD}$$ дугу, на которую опираются углы, образованные хордами и секущими.
Для первой окружности угол $$\angle ABD$$ опирается на дугу $$\overset{\frown}{AD}$$, поэтому
$$\angle ABD=\frac12\overset{\frown}{AD}.$$
Для окружности с центром $$O$$ центральный угол $$\angle AOD$$ также опирается на дугу $$\overset{\frown}{AD}$$, значит
$$\angle AOD=\overset{\frown}{AD}.$$
Следовательно,
$$\angle ABD=\frac12\angle AOD.$$
Так как точки $$A, C, O$$ лежат на одной окружности, то угол $$\angle ACD$$ тоже опирается на дугу $$\overset{\frown}{AD}$$, поэтому
$$\angle ACD=\frac12\overset{\frown}{AD}.$$
Отсюда
$$\angle ABD=\angle ACD.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$BCD$$. Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, то
$$\angle BCD=180^\circ-\angle ACD,$$
$$\angle BDC=180^\circ-\angle ADB.$$
Но $$\angle ADB=\angle ABD$$, а значит
$$\angle BCD=180^\circ-\angle ACD=180^\circ-\angle ABD,$$
$$\angle BDC=180^\circ-\angle ABD.$$
Следовательно,
$$\angle BCD=\angle BDC,$$
то есть треугольник $$BCD$$ равнобедренный, и $$BC=BD$$.
Ответ
$$\triangle BCD$$ равнобедренный, $$BC=BD$$.
