Упр.802 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года.
Две окружности пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$. Через точку $$A$$ проведена прямая $$m$$, пересекающая эти окружности в точках $$C$$ и $$D$$. Через точки $$C$$ и $$D$$ проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке $$K$$. Докажите, что:
а) величина угла $$\angle CKD$$ не зависит от выбора прямой $$m$$;
б) четырёхугольник $$BCKD$$ можно вписать в окружность. - Задание учебника 2023 года.
На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отмечена точка $$N$$ так, что $$BN=2NC$$. Выразите вектор $$\overrightarrow{AN}$$ через векторы $$\vec a=\overrightarrow{BA}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{BC}$$.
Обозначим центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$. Так как точки $$A$$ и $$B$$ — общие для обеих окружностей, то для первой окружности
$$\angle ACB=\frac12 \overset{\frown}{AB}, \qquad \angle ADB=\frac12 \overset{\frown}{AB},$$
а для второй окружности
$$\angle KCB=\frac12 \overset{\frown}{CB}=\frac12 \overset{\frown}{CA}+\frac12 \overset{\frown}{AB},$$
$$\angle KDB=\frac12 \overset{\frown}{BD}=\frac12 \overset{\frown}{AD}+\frac12 \overset{\frown}{AB}.$$
Тогда
$$\angle CBD=\frac12 \overset{\frown}{CA}+\frac12 \overset{\frown}{AD}.$$
Следовательно,
$$\angle CKD=\angle CBD+\angle ACB+\angle ADB.$$
Подставим найденные выражения:
$$\angle CKD= \left(\frac12 \overset{\frown}{CA}+\frac12 \overset{\frown}{AD}\right) +\frac12 \overset{\frown}{AB} +\frac12 \overset{\frown}{AB}$$
$$\angle CKD=\frac12 \left(\overset{\frown}{CA}+\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}\right).$$
Но сумма соответствующих дуг не зависит от выбора секущей $$m$$, значит и угол $$\angle CKD$$ постоянен.
Теперь рассмотрим четырёхугольник $$BCKD$$. Имеем
$$\angle C+\angle D=\angle CBD+\angle CKD.$$
Так как
$$\angle CKD=\angle CBD+\angle ACB+\angle ADB,$$
то
$$\angle C+\angle D=180^\circ.$$
Следовательно, сумма противоположных углов четырёхугольника $$BCKD$$ равна $$180^\circ$$, а значит, этот четырёхугольник можно вписать в окружность.
Ответ
а) $$\angle CKD$$ не зависит от выбора прямой $$m$$; б) четырёхугольник $$BCKD$$ вписанный.
