Упр.801 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая m, пересекающая эти окружности в точках С и D. Докажите, что величина угла CBD не зависит от выбора прямой m.
- Докажите, что для любых векторов x и y справедливы неравенства $$|x|-|y|<|x+y|<|x|+|y|$$.
Обозначим центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$. Так как точки $$A$$ и $$B$$ — общие точки окружностей, то для первой окружности точки $$A,B,C$$ лежат на одной окружности, а для второй — точки $$A,B,D$$ лежат на одной окружности.
Тогда в окружности с центром $$O_1$$ вписанный угол $$\angle ACB$$ опирается на дугу $$AB$$, поэтому
$$\angle ACB=\frac12\overset{\frown}{AB}.$$
А в окружности с центром $$O_2$$ вписанный угол $$\angle ADB$$ также опирается на ту же дугу $$AB$$, значит
$$\angle ADB=\frac12\overset{\frown}{AB}.$$
Следовательно,
$$\angle ACB=\angle ADB.$$
Рассмотрим треугольник $$CBD$$. Его углы удовлетворяют равенству
$$\angle CBD=180^\circ-\angle ACB-\angle ADB.$$
Так как $$\angle ACB=\angle ADB$$, получаем
$$\angle CBD=180^\circ-2\angle ACB.$$
Правая часть не зависит от выбора прямой $$m$$, значит и угол $$\angle CBD$$ не зависит от выбора этой прямой.
