Упр.800 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точки А, В, С и D лежат на окружности. Докажите, что если AB = CD, то АВ = CD. Докажите, что если векторы m иnсонаправлены, то |m + n| = |m| + |n|, a если m иn противоположно направлены, причём |m|>|n|, то |m + n| = |m|-|n|.

1) Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OA=OB=OC=OD$$ как радиусы одной и той же окружности.

Рассмотрим центральные углы $$\angle AOB$$ и $$\angle COD$$. По условию $$AB=CD$$, а равным хордам соответствуют равные центральные углы, значит

$$\angle AOB=\angle COD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. В них:

• $$OA=OC$$;
• $$OB=OD$$;
• $$\angle AOB=\angle COD.$$

Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда соответствующие стороны равны:

$$AB=CD.$$

2) Если векторы $$\vec m$$ и $$\vec n$$ сонаправлены, то их длина суммы равна сумме длин:

$$|\vec m+\vec n|=|\vec m|+|\vec n|.$$

Если же векторы $$\vec m$$ и $$\vec n$$ противоположно направлены и $$|\vec m|>|\vec n|$$, то длина суммы равна разности их модулей:

$$|\vec m+\vec n|=|\vec m|-|\vec n|.$$

Это следует из того, что при сонаправленных векторах отрезки, изображающие их сумму, складываются, а при противоположно направленных — вычитаются.

Ответ

$$AB=CD.$$

$$|\vec m+\vec n|=|\vec m|+|\vec n|$$ при сонаправленных векторах, и $$|\vec m+\vec n|=|\vec m|-|\vec n|$$ при противоположно направленных векторах, если $$|\vec m|>|\vec n|.$$