Упр.80 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Отрезок АВ длины а разделён точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР — 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между: а) точкой А и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков АР и QB. Известно, что уголAOB = 35°, уголBOC = 50°. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.

Обозначим середину отрезка $$AP$$ точкой $$D$$, а середину отрезка $$QB$$ — точкой $$C$$.

Из условия $$AP=2PQ=2QB$$, значит

$$AP=2PQ,\quad AP=2QB,\quad PQ=QB.$$

Тогда

$$PB=PQ+QB=2PQ,$$

следовательно, $$AP=PB$$. Значит, точка $$P$$ — середина отрезка $$AB$$, и

$$AP=PB=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}.$$

Так как $$PQ=QB$$, то

$$PQ=QB=\frac{1}{2}PB=\frac{a}{4}.$$

Кроме того, поскольку $$C$$ — середина отрезка $$QB$$, имеем

$$QC=\frac{QB}{2}=\frac{a}{8}.$$

a) Найдём расстояние от точки $$A$$ до середины отрезка $$QB$$, то есть $$AC$$:

$$AC=AP+PQ+QC.$$

Подставим найденные значения:

$$AC=\frac{a}{2}+\frac{a}{4}+\frac{a}{8}=\frac{7a}{8}.$$

б) Найдём расстояние между серединами отрезков $$AP$$ и $$QB$$, то есть $$DC$$.

Так как $$D$$ — середина $$AP$$, то

$$DP=\frac{AP}{2}=\frac{a}{4}.$$

Тогда

$$DC=DP+PQ+QC.$$

Подставим значения:

$$DC=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{8}=\frac{5a}{8}.$$

Ответ

а) $$\frac{7a}{8}$$; б) $$\frac{5a}{8}$$.