Упр.80 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезок $$AB$$ длины $$a$$ разделён точками $$P$$ и $$Q$$ на три отрезка $$AP$$, $$PQ$$ и $$QB$$ так, что $$AP-2PQ=2QB$$. Найдите расстояние между: а) точкой $$A$$ и серединой отрезка $$QB$$; б) серединами отрезков $$AP$$ и $$QB$$.
2. Известно, что $$\angle AOB=35^\circ$$, $$\angle BOC=50^\circ$$. Найдите $$\angle AOC$$. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.

Обозначим середины отрезков $$AP$$ и $$QB$$ точками $$D$$ и $$C$$ соответственно.

Из условия $$AP=2PQ=2QB$$, значит $$PQ=QB$$ и $$AP=2QB$$. Тогда

$$AB=AP+PQ+QB=2QB+QB+QB=4QB,$$

откуда

$$QB=\frac{a}{4}, \qquad AP=\frac{a}{2}, \qquad PQ=\frac{a}{4}.$$

а) Найдём расстояние от точки $$A$$ до середины отрезка $$QB$$, то есть до точки $$C$$:

$$QC=\frac{QB}{2}=\frac{a}{8}.$$

Тогда

$$AC=AP+PQ+QC=\frac{a}{2}+\frac{a}{4}+\frac{a}{8}=\frac{7a}{8}.$$

б) Найдём расстояние между серединами отрезков $$AP$$ и $$QB$$, то есть $$DC$$:

$$DP=\frac{AP}{2}=\frac{a}{4}, \qquad QC=\frac{QB}{2}=\frac{a}{8}.$$

Следовательно,

$$DC=DP+PQ+QC=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{8}=\frac{5a}{8}.$$

Ответ: а) $$\frac{7a}{8}$$; б) $$\frac{5a}{8}$$.