Упр.799 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диаметр $$AA_1$$ окружности перпендикулярен к хорде $$BB_1$$. Докажите, что градусные меры дуг $$AB$$ и $$AB_1$$, меньших полуокружности, равны.
2. Дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$. Перпендикуляр, проведённый из вершины $$B$$ к большему основанию $$AD$$, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен $$7\text{ см}$$. Найдите среднюю линию трапеции.

Рассмотрим треугольники $$BOD$$ и $$DOB_1$$.

Так как $$BO=OB_1=r$$, то $$\triangle BOB_1$$ равнобедренный. Кроме того, $$AA_1$$ — диаметр, а по условию $$AA_1\perp BB_1$$, значит $$\angle BDO=\angle ODB_1=90^\circ$$.

Треугольники $$BDO$$ и $$ODB_1$$ прямоугольные. У них

$$BO=OB_1,$$

$$DO$$ — общий катет.

Следовательно, $$\triangle BDO \cong \triangle ODB_1$$ по гипотенузе и катету. Отсюда

$$\angle BOD=\angle DOB_1.$$

Но $$\angle BOD$$ и $$\angle DOB_1$$ — центральные углы, стягивающие дуги $$AB$$ и $$AB_1$$ соответственно. Значит, градусные меры меньших дуг $$AB$$ и $$AB_1$$ равны:

$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB_1}.$$