Упр.798 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две окружности радиусов $$r$$ и $$R$$. Расстояние между их центрами равно $$d$$ ($$d>R+r$$). Найдите отрезок их общей а) внешней касательной; б) внутренней касательной.
2. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна $$48\ \text{см}$$, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные $$11\ \text{см}$$ и $$35\ \text{см}$$. Найдите углы трапеции.

Обозначим центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$. Пусть $$AB$$ — отрезок общей внешней касательной, а $$CD$$ — отрезок общей внутренней касательной.

Для внешней касательной опустим радиусы к точкам касания. Тогда получим прямоугольный треугольник, в котором один катет равен разности радиусов $$R-r$$, а гипотенуза равна расстоянию между центрами $$d$$. Поэтому

$$AB=\sqrt{d^2-(R-r)^2}.$$

Для внутренней касательной аналогично: один катет равен сумме радиусов $$R+r$$, а гипотенуза равна $$d$$. Значит,

$$CD=\sqrt{d^2-(R+r)^2}.$$

Ответ: а) $$\sqrt{d^2-(R-r)^2}$$; б) $$\sqrt{d^2-(R+r)^2}$$.