Упр.798 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 798. Даны две окружности радиусов r и R. Расстояние между их центрами равно d (d>R+r). Найдите отрезок их общей а) внешней касательной; б) внутренней касательной. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции.

Обозначим центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$, а точки касания общей внешней касательной — $$A$$ и $$B$$, общей внутренней касательной — $$C$$ и $$D$$.

а) Общая внешняя касательная. Проведём радиусы к точкам касания: $$O_1A \perp AB$$ и $$O_2B \perp AB$$. Тогда четырёхугольник $$AO_1O_2B$$ можно рассмотреть как прямоугольник с одной из сторон, равной $$r$$, и другой — $$R$$. Разность расстояний от центров до общей внешней касательной равна $$R-r$$, поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$O_1O_2=d$$ получаем:

$$ AB=\sqrt{d^2-(R-r)^2}. $$

б) Общая внутренняя касательная. Аналогично, радиусы к точкам касания перпендикулярны касательной: $$O_1C \perp CD$$ и $$O_2D \perp CD$$. Теперь расстояния от центров до касательной складываются и равны $$R+r$$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$O_1O_2=d$$ имеем:

$$ CD=\sqrt{d^2-(R+r)^2}. $$

Ответ

а) $$\sqrt{d^2-(R-r)^2}$$; б) $$\sqrt{d^2-(R+r)^2}$$.