Упр.797 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 797. Две окружности радиусов r и R касаются внешним образом в точке А. К ним проведена общая внешняя касательная МК. а) Докажите, что угол KAM=90°; б) найдите длину отрезка МК. окажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.

Подробный ответ

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры окружностей, $$P$$ — точка пересечения общей внешней касательной $$MK$$ с прямой $$O_1O_2$$.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

$$O_1K \perp MK,\qquad O_2M \perp MK.$$

Следовательно, четырёхугольник $$O_1KMO_2$$ имеет две пары равных углов при вершинах $$K$$ и $$M$$, а значит, его диагонали $$O_1O_2$$ и $$KM$$ пересекаются в точке $$P$$ так, что

$$PK=PM.$$

Кроме того, из равенства касательных, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

$$PA=PK,\qquad PA=PM.$$

Значит,

$$PK=PA=PM.$$

Тогда точка $$P$$ — середина отрезка $$KM$$, а также $$PA$$ является биссектрисой угла $$KPM$$. Но $$K,P,M$$ лежат на одной прямой, поэтому

$$\angle KPM=180^\circ,$$

откуда

$$\angle KPA=\angle APM=90^\circ.$$

Так как точки $$K,A,M$$ лежат на соответствующих касательных, то в треугольнике $$AKM$$ угол при вершине $$A$$ прямой, то есть

$$\angle KAM=90^\circ.$$

Теперь найдём $$MK$$. Для точки $$P$$, лежащей на линии центров двух касающихся окружностей, имеем