Упр.797 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Две окружности радиусов $$r$$ и $$R$$ касаются внешним образом в точке $$А$$. К ним проведена общая внешняя касательная $$МК$$.
а) Докажите, что угол $$КАМ=90^\circ$$;
б) найдите длину отрезка $$МК$$. - Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.
Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры данных окружностей, а $$K$$ и $$M$$ — точки касания общей внешней касательной $$KM$$ с этими окружностями.
Соединим центры окружностей с точкой касания $$A$$. Тогда
$$O_1A \perp O_2A,$$
так как окружности касаются внешним образом в точке $$A$$, а радиусы, проведённые в точку касания, лежат на одной прямой.
Проведём через точку $$A$$ прямую, параллельную касательной $$KM$$, и обозначим её пересечение с $$O_1O_2$$ через $$P$$. Тогда $$P$$ — середина отрезка $$KM$$, поскольку расстояния от точки $$P$$ до сторон угла с вершиной в $$A$$ равны, а значит,
$$PK=PM.$$
Кроме того, в треугольнике $$AKM$$ радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной, поэтому
$$\angle KAM=90^\circ.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$O_1AO_2$$. Так как
$$O_1A=r,\qquad O_2A=R,$$
то по теореме Пифагора
$$O_1O_2=\sqrt{r^2+R^2}.$$
Но точка $$A$$ делит отрезок $$O_1O_2$$ на части длиной $$r$$ и $$R$$, а значит, расстояние между точками касания на общей касательной равно удвоенной длине отрезка $$PA$$:
$$MK=2PA.$$
Из подобия соответствующих прямоугольных треугольников получаем
$$PA=\sqrt{rR}.$$
Следовательно,
$$MK=2\sqrt{rR}.$$
Ответ: $$\angle KAM=90^\circ,\quad MK=2\sqrt{rR}.$$
