Упр.796 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
O-ц.вп.окр;
AC-секущая;
AB || CD;
Доказать:
угол AOC=90°;
Решение:
1) Сумма односторонних углов:
AB || CD, угол ACD+угол CAB=180°;
2) Для данной окружности:
угол CAO=1/2угол CAB; угол ACO=1/2угол ACD;
(угол CAO+угол ACO)=(угол A+угол C)/2=90°;
3) В треугольнике ACO:
угол AOC+угол CAO+угол ACO=180°;
угол AOC=180°-(угол CAO+угол ACO);
угол O=угол AOC=180°-90°=90°;
Что и требовалось доказать. Из концов диаметра CD данной окружности проведены перпендикуляры СС1 и DD1 к касательной, не перпендикулярной к диаметру CD. Найдите DD1 если СС1 = 11 см, a CD = 27 см.

Пусть $$a$$ — касательная, а $$CC_1 \perp a$$ и $$DD_1 \perp a$$. Тогда $$CC_1 \parallel DD_1$$, а точки $$C_1$$ и $$D_1$$ лежат на одной прямой, параллельной касательной.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $$OO_1 \perp a$$. Следовательно, $$OO_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$$.

Из параллельности $$DD_1 \parallel OO_1 \parallel CC_1$$ и того, что $$OD=OC=r$$, получаем, что отрезок $$D_1C_1$$ является средней линией трапеции, а значит

$$OO_1=\frac{DD_1+CC_1}{2}.$$

Так как $$CD$$ — диаметр, то $$OD=OC=\frac{CD}{2}=\frac{27}{2}=13{,}5\text{ см}.$$

Подставим в формулу:

$$13{,}5=\frac{DD_1+11}{2}.$$

Тогда

$$DD_1+11=27,$$

$$DD_1=27-11=16\text{ см}.$$

Ответ

$$16\text{ см}$$