Упр.795 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Центр описанной окружности равноудален от всех вершин, значит он лежит на серединных перпендикулярах к каждой из четырех сторон четырехугольника, а значит он лежит в точке их пересечения, что и требовалось доказать. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.

Подробный ответ

Пусть окружность касается прямой $$a$$ в точке $$H$$, а концы диаметра — точки $$C$$ и $$D$$. Из этих точек опущены перпендикуляры на касательную: $$CC_1 \perp a$$, $$DD_1 \perp a$$, причём $$CC_1=18$$ см, $$DD_1=12$$ см.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $$OH \perp a$$. Следовательно, точки $$C_1, H, D_1$$ лежат на одной прямой, а отрезок $$C_1D_1$$ является отрезком этой прямой.

Рассмотрим трапецию $$C_1CDD_1$$. Её основания $$CC_1$$ и $$DD_1$$ перпендикулярны одной и той же прямой $$a$$, значит $$CC_1 \parallel DD_1$$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$ HO=\frac{CC_1+DD_1}{2}=\frac{18+12}{2}=15\text{ см}. $$

Но $$HO$$ — радиус окружности, значит

$$ r=15\text{ см}. $$

Тогда диаметр окружности:

$$ CD=2r=2\cdot 15=30\text{ см}. $$