Упр.795 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если около четырёхугольника можно описать окружность, то её центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого четырёхугольника.
2. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на $$18\ \text{см}$$ и $$12\ \text{см}$$.

Пусть $$C_1$$ и $$D_1$$ — точки пересечения касательной $$a$$ с продолжениями радиусов, проведённых к точкам касания окружности. Тогда $$CC_1 \perp a$$ и $$DD_1 \perp a$$, значит $$CC_1 \parallel DD_1$$.

По теореме Фалеса прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная касательной, делит отрезок между точками касания пополам, поэтому $$C_1H = HD_1$$. Следовательно, $$HO$$ — средняя линия трапеции $$C_1CDD_1$$.

Тогда

$$HO=\frac{1}{2}\left(CC_1+DD_1\right)=\frac{1}{2}(18+12)=15\text{ см}.$$

Так как $$O$$ — центр окружности, то $$CO=OD=r$$, а значит

$$r=HO=15\text{ см}.$$

Искомый диаметр:

$$CD=2r=2\cdot 15=30\text{ см}.$$

Ответ

$$30\text{ см}$$