Упр.793 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В остроугольном треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$AK$$, $$BM$$, $$CN$$, пересекающиеся в точке $$H$$. Докажите, что около каждого из четырёхугольников $$CMНК$$, $$AMHN$$, $$BNHK$$ можно описать окружность.
Боковые стороны трапеции равны $$13\ \text{см}$$ и $$15\ \text{см}$$, а периметр равен $$48\ \text{см}$$. Найдите среднюю линию трапеции.

Подробный ответ

В остроугольном треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$AK$$, $$BM$$, $$CN$$, пересекающиеся в точке $$H$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$CMHK$$. В нём

$$\angle CMH=90^\circ,$$

так как $$BM \perp AC$$ и точки $$C, M, A$$ лежат на одной прямой; и

$$\angle CKH=90^\circ,$$

так как $$AK \perp BC$$ и точки $$B, K, C$$ лежат на одной прямой.

Следовательно, сумма противоположных углов четырёхугольника $$CMHK$$ равна $$180^\circ$$, значит, около него можно описать окружность.

Аналогично:

в четырёхугольнике $$AMHN$$ углы $$\angle AMH$$ и $$\angle ANH$$ равны $$90^\circ$$, поэтому около него можно описать окружность;

в четырёхугольнике $$BNHK$$ углы $$\angle BNH$$ и $$\angle BKH$$ равны $$90^\circ$$, поэтому около него можно описать окружность.

Итак, около каждого из четырёхугольников $$CMHK$$, $$AMHN$$ и $$BNHK$$ можно описать окружность.