Упр.792 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная. Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64).

1. Если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная.

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, у которой $$AD \parallel BC$$, и около неё описана окружность.

Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписанный, то суммы противоположных углов равны $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ.$$

Поскольку $$AD \parallel BC$$, то односторонние углы при секущих $$AB$$ и $$CD$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B=180^\circ,\qquad \angle C+\angle D=180^\circ.$$

Из равенств

$$\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle A+\angle B=180^\circ$$

получаем $$\angle B=\angle C$$.

А из равенств

$$\angle B+\angle D=180^\circ,\qquad \angle C+\angle D=180^\circ$$

получаем $$\angle A=\angle D$$.

Следовательно, в трапеции равны углы при каждом основании, значит $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция.

2. Теорема о средней линии треугольника.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, то есть

$$AE=EB,\qquad BF=FC.$$

Докажем, что $$EF \parallel AC$$ и $$EF=\frac12 AC$$.

Так как $$E$$ — середина $$AB$$, а $$F$$ — середина $$BC$$, то

$$\vec{EB}=\frac12\vec{AB},\qquad \vec{BF}=\frac12\vec{BC}.$$

Тогда

$$ \vec{EF}=\vec{EB}+\vec{BF} =\frac12\vec{AB}+\frac12\vec{BC} =\frac12(\vec{AB}+\vec{BC}). $$

По правилу сложения векторов

$$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC},$$

значит

$$\vec{EF}=\frac12\vec{AC}.$$

Следовательно, $$EF \parallel AC$$ и

$$EF=\frac12\,AC.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны: $$EF \parallel AC$$, $$EF=\frac12 AC$$.