Упр.792 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
- Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64).
Пусть $$ABCD$$ — трапеция, у которой $$AD \parallel BC$$, и около неё можно описать окружность.
Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ — вписанный, значит, суммы противоположных углов равны $$180^\circ$$:
$$\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ.$$
Так как $$AD \parallel BC$$, то односторонние углы при секущей $$AB$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:
$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$
Из равенств
$$\angle A+\angle C=180^\circ \quad \text{и} \quad \angle A+\angle B=180^\circ$$
получаем:
$$\angle B=\angle C.$$
Аналогично, из
$$\angle B+\angle D=180^\circ \quad \text{и} \quad \angle B+\angle C=180^\circ$$
следует:
$$\angle A=\angle D.$$
Итак, в трапеции равны углы при каждом основании: $$\angle B=\angle C$$ и $$\angle A=\angle D.$$ Следовательно, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная, что и требовалось доказать.
