Упр.791 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Задание учебника 2023 года. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Подробный ответ

Пусть $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$, а $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$ соответственно. Обозначим через $$O$$ точку пересечения отрезков $$EF$$ и $$MN$$.

Тогда, так как $$E$$ и $$F$$ — середины сторон, имеем

$$\overrightarrow{AE}=\frac12\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{CF}=\frac12\overrightarrow{CD},$$

$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD},\qquad \overrightarrow{BN}=\frac12\overrightarrow{BC}.$$

В четырёхугольнике $$ABCD$$ выполняется

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BN}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right),$$

$$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DF}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right).$$

Но $$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}$$ и $$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$$, поэтому

$$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DF}.$$

Следовательно, четырёхугольник $$EONF$$ является параллелограммом, так как его диагонали $$EF$$ и $$MN$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся этой точкой пополам. Значит,

$$EO=OF,\qquad NO=OM.$$

Итак, отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.