Упр.789 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
- На сторонах треугольника $$ABC$$ построены параллелограммы $$ABB_1A_2$$, $$BCC_1B_2$$, $$ACC_2A_1$$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2$$.
Рассмотрим векторы $$\overrightarrow{A_1A_2},\ \overrightarrow{B_1B_2},\ \overrightarrow{C_1C_2}.$$
Так как $$ABB_1A_2,$$ $$BCC_1B_2$$ и $$ACC_2A_1$$ — параллелограммы, то
$$\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{AA_2}+\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{BB_1},$$
$$\overrightarrow{B_1B_2}=\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BB_2}=\overrightarrow{CC_1},$$
$$\overrightarrow{C_1C_2}=\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{CC_2}=\overrightarrow{AA_1}.$$
Сложим эти векторы:
$$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{C_1C_2} =\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{AA_1}=\vec 0.$$
Из свойства трёх векторов, сумма которых равна нулю, следует, что они могут быть сторонами некоторого треугольника. Значит, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $$A_1A_2,$$ $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2.$$
Ответ
Существует треугольник со сторонами, соответственно параллельными и равными $$A_1A_2,$$ $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2.$$
