Упр.787 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO через векторы а = ED и b = EF.

Подробный ответ

Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{ED}$$, $$\vec b=\overrightarrow{EF}$$.

Так как $$EG$$ — медиана треугольника $$DEF$$, то точка $$G$$ — середина отрезка $$DF$$. Следовательно,

$$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{ED}=\vec b-\vec a.$$

Тогда

$$\overrightarrow{DG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}(\vec b-\vec a).$$

Поскольку $$O$$ — середина медианы $$EG$$, то $$O$$ — середина отрезка $$EG$$, значит

$$\overrightarrow{GO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GE}.$$

Найдём $$\overrightarrow{GE}$$:

$$\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{DG}+\vec a=-\frac{1}{2}(\vec b-\vec a)+\vec a=-\frac{1}{2}\vec b+\frac{3}{2}\vec a.$$

Тогда

$$\overrightarrow{GO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GE}=-\frac{1}{4}\vec b+\frac{3}{4}\vec a.$$

Теперь

$$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GO}$$

$$\overrightarrow{DO}=\frac{1}{2}(\vec b-\vec a)-\frac{1}{4}\vec b+\frac{3}{4}\vec a=\frac{1}{4}\vec b+\frac{1}{4}\vec a.$$