Упр.787 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна $$12\ \text{см}$$, а радиус вписанной в него окружности равен $$5\ \text{см}$$. Найдите площадь четырёхугольника.
- Точка $$O$$ — середина медианы $$EG$$ треугольника $$DEF$$. Выразите вектор $$\overrightarrow{DO}$$ через векторы $$\vec a=\overrightarrow{ED}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{EF}$$.
Так как $$EG$$ — медиана треугольника $$DEF$$, то точка $$G$$ — середина отрезка $$DF$$. Кроме того, $$O$$ — середина медианы $$EG$$, значит $$O$$ делит отрезок $$EG$$ пополам.
Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{ED}$$, $$\vec b=\overrightarrow{EF}$$. Тогда
$$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{ED}=\vec b-\vec a.$$
Так как $$G$$ — середина $$DF$$, то
$$\overrightarrow{DG}=\frac12\overrightarrow{DF}=\frac12(\vec b-\vec a).$$
Найдём вектор $$\overrightarrow{GE}$$:
$$\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{DG}-\vec a=-\frac12(\vec b-\vec a)-\vec a=-\frac12\vec b-\frac12\vec a.$$
Поскольку $$O$$ — середина $$EG$$, имеем
$$\overrightarrow{GO}=\frac12\overrightarrow{GE}=\frac12\left(-\frac12\vec b-\frac12\vec a\right)=-\frac14\vec b-\frac14\vec a.$$
Тогда
$$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GO}=\frac12(\vec b-\vec a)-\frac14\vec b-\frac14\vec a=\frac14\vec b-\frac34\vec a.$$
Ответ
$$\overrightarrow{DO}=\frac14\vec b-\frac34\vec a.$$
