Упр.786 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
2. Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{AA_1}$$, $$\overrightarrow{BB_1}$$, $$\overrightarrow{CC_1}$$ через векторы $$\vec a = \overrightarrow{AC}$$ и $$\vec b = \overrightarrow{AB}$$.

Центр вписанной окружности, соединённый отрезками с вершинами многоугольника, разбивает его на треугольники. В каждом таком треугольнике основанием служит сторона многоугольника, а высотой — радиус вписанной окружности $$r$$.

Пусть стороны многоугольника равны $$a_1,a_2,\dots,a_n$$, а площади получившихся треугольников — $$S_1,S_2,\dots,S_n$$. Тогда

$$S=S_1+S_2+\cdots+S_n$$
$$S_1=\frac12 a_1r,\quad S_2=\frac12 a_2r,\quad \dots,\quad S_n=\frac12 a_nr$$

Следовательно,

$$S=\frac12 a_1r+\frac12 a_2r+\cdots+\frac12 a_nr =\frac12 r(a_1+a_2+\cdots+a_n)$$

Но $$a_1+a_2+\cdots+a_n=P$$ — периметр многоугольника. Значит,

$$S=\frac12 Pr$$

что и требовалось доказать.