Упр.785 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.
2. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$. Докажите, что $$MN=\frac{1}{2}(AD+CB)$$.

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Для параллелограмма это означает:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Тогда

$$AB+AB=BC+BC,$$

то есть

$$2AB=2BC,$$

откуда

$$AB=BC.$$

Следовательно, у параллелограмма все стороны равны:

$$AB=BC=CD=AD.$$

Значит, этот параллелограмм — ромб.

Ответ

Параллелограмм, в который можно вписать окружность, является ромбом.