Упр.784 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырёхугольника. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М — такая точка на стороне AD, что AM = MD. Выразите через векторы х = AD, у = АВ следующие векторы: а) АС, АО, СО, DO, AD + BC, AD + CO, СО + ОА; б) AM, МС, ВМ, ОМ.

Так как четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

По условию $$AB+CD=15$$ см, значит

$$AB+BC+CD+AD=(AB+CD)+(BC+AD)=15+15=30.$$

Следовательно, периметр четырёхугольника равен $$30$$ см.

Ответ

$$30\text{ см}$$

Ход решения

Обозначим $$\vec{x}=\overrightarrow{AD},\quad \vec{y}=\overrightarrow{AB}.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем:

$$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{y},\qquad \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{x}.$$

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, значит точка $$O$$ — середина диагоналей, поэтому

$$\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}.$$

Так как $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\vec{x}+\vec{y},$$ то

$$\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec{x}+\vec{y})=\frac12\vec{x}+\frac12\vec{y}.$$

Тогда:

$$\overrightarrow{CO}=-\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{AO}=-\frac12\vec{x}-\frac12\vec{y},$$

$$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AO}=-\vec{x}+\frac12\vec{x}+\frac12\vec{y}=-\frac12\vec{x}+\frac12\vec{y},$$

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\vec{x}+\vec{x}=2\vec{x},$$

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CO}=\vec{x}-\frac12\vec{x}-\frac12\vec{y}=\frac12\vec{x}-\frac12\vec{y},$$

$$\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CA}=-(\vec{x}+\vec{y})=-\vec{x}-\vec{y}.$$

Теперь найдём векторы, связанные с точкой $$M$$. По условию $$AM=MD$$, значит $$M$$ — середина отрезка $$AD$$, и

$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD}=\frac12\vec{x}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}=\frac12\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\frac12\vec{x}+\vec{y},$$

$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}=-\vec{y}+\frac12\vec{x},$$

$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=-\frac12(\vec{x}+\vec{y})+\frac12\vec{x}=-\frac12\vec{y}.$$

Ответ

а) $$\overrightarrow{AC}=\vec{x}+\vec{y},\quad \overrightarrow{AO}=\frac12\vec{x}+\frac12\vec{y},\quad \overrightarrow{CO}=-\frac12\vec{x}-\frac12\vec{y},\quad \overrightarrow{DO}=-\frac12\vec{x}+\frac12\vec{y},$$
$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\vec{x},\quad \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CO}=\frac12\vec{x}-\frac12\vec{y},\quad \overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA}=-\vec{x}-\vec{y};$$

б) $$\overrightarrow{AM}=\frac12\vec{x},\quad \overrightarrow{MC}=\frac12\vec{x}+\vec{y},\quad \overrightarrow{BM}=\frac12\vec{x}-\vec{y},\quad \overrightarrow{OM}=-\frac12\vec{y}.$$