Упр.782 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны угла O касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке A. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой OA.
2. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD, точка G — середина стороны BC. Выразите векторы $$\overrightarrow{EC}$$ и $$\overrightarrow{AG}$$ через векторы $$\overrightarrow{DC}=\vec a$$ и $$\overrightarrow{BC}=\vec b$$.

Так как стороны угла $$O$$ касаются окружностей, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны этим сторонам. Следовательно, центры обеих окружностей равноудалены от сторон угла $$O$$, а значит, лежат на его биссектрисе.

Кроме того, окружности касаются друг друга в точке $$A$$, поэтому точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры: $$A \in O_1O_2$$.

Итак, прямая $$O_1O_2$$ проходит через точку $$A$$ и оба центра окружностей лежат на биссектрисе угла $$O$$. Значит, центры окружностей лежат на прямой $$OA$$.