Упр.781 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.
2. Пусть $$x=m+n$$, $$y=m-n$$. Выразите через $$m$$ и $$n$$ векторы: а) $$2x-2y$$; б) $$2x+\frac{1}{2}y$$; в) $$-x-\frac{1}{3}y$$.

Пусть даны отрезки $$AB$$ и $$BC$$. Построим отрезок, равный среднему пропорциональному для этих отрезков, то есть такой отрезок $$BD$$, для которого

$$BD^2=AB\cdot BC.$$

Для этого:

1. На одной прямой последовательно отложим отрезки $$AB$$ и $$BC$$, получим отрезок $$AC$$.
2. Найдём середину отрезка $$AC$$ и обозначим её через $$O$$.
3. Построим окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$.
4. Через точку $$B$$ проведём перпендикуляр к прямой $$AC$$. Пусть он пересечёт окружность в точке $$D$$.

Тогда $$BD$$ — искомый отрезок.

Действительно, точка $$B$$ лежит на диаметре окружности $$AC$$, а $$BD$$ — перпендикуляр к этому диаметру. Значит, по теореме о высоте, опущенной из прямого угла на гипотенузу, получаем:

$$BD^2=AB\cdot BC.$$

Следовательно, $$BD=\sqrt{AB\cdot BC}$$, то есть построенный отрезок является средним пропорциональным для данных отрезков.