Упр.780 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
- Докажите, что для любого вектора $$a$$ справедливы равенства:
а) $$1 \times a = a$$;
б) $$(-1) \times a = -a$$.
Пусть $$O$$ — центр окружности, $$AB$$ — диаметр, $$CD \perp AB$$, $$E=CD\cap AB$$.
Соединим точки $$C$$ и $$D$$ с центром $$O$$. Тогда $$CO=OD$$ как радиусы одной окружности, значит, $$\triangle COD$$ равнобедренный.
Так как $$AB \perp CD$$ и $$O \in AB$$, то $$OE \perp CD$$. Следовательно, в равнобедренном треугольнике $$COD$$ отрезок $$OE$$, проведённый из вершины $$O$$ к основанию $$CD$$, является и медианой. Значит, $$CE=ED$$.
По свойству хорд окружности произведение отрезков пересекающихся хорд равно:
$$AE\cdot EB=CE\cdot ED.$$
Так как $$CE=ED$$, получаем
$$AE\cdot EB=CE^2.$$
Отсюда
$$CE=\sqrt{AE\cdot EB}.$$
Итак, перпендикуляр, проведённый из точки окружности к диаметру, является средним пропорциональным для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
