Упр.778 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Отрезок $$AC$$ — диаметр окружности, $$AB$$ — хорда, $$MA$$ — касательная, угол $$MAB$$ острый. Докажите, что $$\angle MAB=\angle ACB$$.
2. Задание учебника 2023 года. Начертите попарно неколлинеарные векторы $$\vec a$$, $$\vec b$$ и $$\vec c$$. Постройте векторы: а) $$2\vec a+3\vec b-4\vec c$$; б) $$\frac{1}{2}\vec a-\vec b+\frac{1}{3}\vec c$$.

Обозначим центр окружности через $$O$$. Так как $$AC$$ — диаметр, то вписанный угол, опирающийся на дугу $$AC$$, прямой:

$$\angle ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем:

$$\angle ACB=90^\circ-\angle BAC.$$

Поскольку $$AM$$ — касательная к окружности в точке $$A$$, то радиус $$OA$$ перпендикулярен касательной, а значит и диаметр $$AC$$ перпендикулярен $$AM$$:

$$AC\perp AM.$$

Следовательно, угол между прямой $$AM$$ и хордой $$AB$$ равен

$$\angle MAB=90^\circ-\angle BAC.$$

Итак,

$$\angle MAB=90^\circ-\angle BAC=\angle ACB.$$

Что и требовалось доказать.