Упр.773 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите угол BAD и угол ADB, если BD= 110°20′. Докажите, что для любых двух векторов х и у справедливо неравенство |x-y|<|x|+|y|. В каком случае |х-у| = |х| + |у|?

Обозначим через $$K$$ вторую точку пересечения секущей $$AD$$ с окружностью. Тогда точки $$A, K, O, D$$ лежат на одной прямой, а $$O$$ — центр окружности.

1) Угол $$\angle BKD$$ — вписанный, поэтому

$$\angle BKD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}=\frac{1}{2}\cdot 110^\circ 20′ = 55^\circ 10′.$$

2) Так как $$O \in AD$$ и $$K \in AD$$, то дуга $$\overset{\frown}{KD}=180^\circ$$.

Следовательно, угол $$\angle DBK$$ — вписанный и равен

$$\angle DBK=\frac{1}{2}\overset{\frown}{KD}=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

3) В треугольнике $$DBK$$ найдем угол при вершине $$D$$:

$$\angle BDK=180^\circ-\angle BKD-\angle DBK$$

$$\angle BDK=180^\circ-55^\circ 10′-90^\circ=34^\circ 50′.$$

Так как точки $$A, K, D$$ лежат на одной прямой, то $$\angle ADB=\angle BDK=34^\circ 50′.$$

4) Рассмотрим треугольник $$BOD$$. Так как $$BO=OD$$, то он равнобедренный, значит

$$\angle DBO=\angle BDO=34^\circ 50′.$$

Тогда

$$\angle DBA=\angle DBO+\angle OBA=34^\circ 50’+90^\circ=124^\circ 50′.$$

5) В треугольнике $$ABD$$:

$$\angle BAD=180^\circ-(\angle DBA+\angle ADB)$$

$$\angle BAD=180^\circ-(124^\circ 50’+34^\circ 50′)=20^\circ 20′.$$

Докажем неравенство для любых векторов $$\vec x$$ и $$\vec y$$. По неравенству треугольника для векторов имеем

$$|\vec x-\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

Равенство $$|\vec x-\vec y|=|\vec x|+|\vec y|$$ возможно тогда и только тогда, когда векторы $$\vec x$$ и $$-\vec y$$ сонаправлены. Это означает, что векторы $$\vec x$$ и $$\vec y$$ коллинеарны и противоположно направлены, либо один из них равен нулевому вектору.

Ответ

$$\angle BAD=20^\circ 20′,\quad \angle ADB=34^\circ 50′.$$

$$|\vec x-\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|,$$ причём равенство достигается, когда $$\vec x$$ и $$\vec y$$ коллинеарны и противоположно направлены, либо $$\vec x=\vec 0$$, либо $$\vec y=\vec 0$$.