Упр.773 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку $$A$$ к данной окружности проведены касательная $$AB$$ (в — точка касания) и секущая $$AD$$, проходящая через центр $$O$$ (точка $$D$$ на окружности, $$O$$ лежит между $$A$$ и $$D$$). Найдите углы $$\angle BAD$$ и $$\angle ADB$$, если $$BD=110^\circ20’$$.
2. Докажите, что для любых двух векторов $$x$$ и $$y$$ справедливо неравенство $$|x-y|<|x|+|y|$$. В каком случае $$|x-y|=|x|+|y|$$?

Обозначим через $$K$$ вторую точку пересечения секущей $$AD$$ с окружностью. Тогда точки $$A, K, O, D$$ лежат на одной прямой, а $$O$$ — центр окружности.

Рассмотрим вписанный угол $$\angle BKD$$. Он опирается на дугу $$BD$$, поэтому

$$\angle BKD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}=\frac{1}{2}\cdot 110^\circ 20′ = 55^\circ 10′.$$

Так как прямая $$AD$$ проходит через центр $$O$$, то $$KD$$ — диаметр окружности. Следовательно, дуга $$KD$$ равна $$180^\circ$$, а вписанный угол $$\angle DBK$$, опирающийся на эту дугу, равен

$$\angle DBK=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

Теперь найдём угол $$ADB$$ в треугольнике $$DBK$$:

$$\angle D=180^\circ-\angle BKD-\angle DBK=180^\circ-55^\circ 10′-90^\circ=34^\circ 50′.$$

Поскольку точки $$A, K, D$$ лежат на одной прямой, то $$\angle ADB=\angle D=34^\circ 50′.$$

Рассмотрим треугольник $$BOD$$. Так как $$BO=OD$$, он равнобедренный, значит

$$\angle DBO=\angle BDO=34^\circ 50′.$$

Тогда

$$\angle DBA=\angle DBO+\angle OBA=34^\circ 50’+90^\circ=124^\circ 50′.$$

И наконец, в треугольнике $$ABD$$:

$$\angle BAD=180^\circ-(\angle DBA+\angle ADB)=180^\circ-(124^\circ 50’+34^\circ 50′)=20^\circ 20′.$$

Ответ: $$\angle BAD=20^\circ 20’$$, $$\angle ADB=34^\circ 50′.$$