Упр.772 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 772. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если uBC=102°. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ХА + ХС = ХВ + XD, где X — произвольная точка плоскости.

1) Вписанный угол, опирающийся на дугу $$BC$$, равен половине соответствующей дуги. Поэтому

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}=\frac{102^\circ}{2}=51^\circ.$$

Так как $$AB=AC$$, то $$\triangle ABC$$ равнобедренный, значит, $$\angle B=\angle C$$.

Тогда

$$\angle B=\angle C=\frac{180^\circ-\angle A}{2}=\frac{180^\circ-51^\circ}{2}=\frac{129^\circ}{2}=64^\circ 30′.$$

Следовательно, углы треугольника:

$$\angle A=51^\circ,\quad \angle B=64^\circ 30′,\quad \angle C=64^\circ 30′.$$

2) Пусть $$X$$ — произвольная точка плоскости. Тогда по правилу треугольника

$$\overrightarrow{XA}-\overrightarrow{XB}=\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{XA}=\overrightarrow{BA},$$

$$\overrightarrow{XD}-\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{CX}+\overrightarrow{XD}=\overrightarrow{CD}.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$$. Значит,

$$\overrightarrow{XA}-\overrightarrow{XB}=\overrightarrow{XD}-\overrightarrow{XC}.$$

Переносим слагаемые:

$$\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XD}.$$

Ответ

$$\angle A=51^\circ,\ \angle B=64^\circ 30′,\ \angle C=64^\circ 30′.$$

$$\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XD}.$$