Упр.772 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Найдите углы треугольника, если $$\overset{\frown}{BC}=102^\circ$$.
2. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что $$XA+XC=XB+XD$$, где X — произвольная точка плоскости.

1) Если в окружность вписан равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$BC$$ и дано $$\overset{\frown}{BC}=102^\circ$$, то

центральный угол, опирающийся на дугу $$BC$$, равен $$102^\circ$$, а вписанный угол $$\angle BAC$$, опирающийся на ту же дугу, вдвое меньше:

$$\angle A=\angle BAC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}=\frac{102^\circ}{2}=51^\circ.$$

Так как $$AB=AC$$, то $$\angle B=\angle C$$. Тогда

$$\angle B=\angle C=\frac{180^\circ-51^\circ}{2}=64^\circ30′.$$

Следовательно, $$\angle A=51^\circ,\ \angle B=64^\circ30′,\ \angle C=64^\circ30′.$$

2) Для параллелограмма $$ABCD$$ докажем, что для любой точки $$X$$ плоскости выполняется $$XA+XC=XB+XD$$.

Рассмотрим векторы:

$$\overrightarrow{XA}-\overrightarrow{XB}=\overrightarrow{BA},$$

$$\overrightarrow{XD}-\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{CD}.$$

Но в параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны и параллельны, значит

$$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{XA}-\overrightarrow{XB}=\overrightarrow{XD}-\overrightarrow{XC}.$$

Перенесём слагаемые:

$$\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XD}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$51^\circ,\ 64^\circ30′,\ 64^\circ30’$$; $$\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XD}.$$