Упр.764 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Хорды $$AB$$ и $$CD$$ окружности с центром $$O$$ равны. а) Докажите, что две дуги с концами $$A$$ и $$B$$ соответственно равны двум дугам с концами $$C$$ и $$D$$. б) Найдите дуги с концами $$C$$ и $$D$$, если $$\angle AOB=112^\circ$$.
- Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение: а) $$\left(AB+BC-MC\right)+\left(MD-KD\right)$$; б) $$\left(CB+AC+BD\right)-\left(MK+KD\right)$$.
Рассмотрим треугольники $$\triangle ABO$$ и $$\triangle OCD$$. Имеем:
$$BO=AO=OC=OD$$ как радиусы одной окружности, а также $$AB=CD$$ по условию.
Следовательно, $$\triangle ABO \cong \triangle OCD$$ по трём сторонам. Тогда соответствующие центральные углы равны:
$$\angle BOA=\angle COD.$$
Но $$\angle BOA=\angle AOB$$ и $$\angle COD$$ стягивают соответственно дуги $$\overset{\frown}{AB}$$ и $$\overset{\frown}{CD}$$, значит, эти дуги равны:
$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}.$$
Если $$\angle AOB=112^\circ$$, то центральный угол, стягивающий дугу $$\overset{\frown}{CD}$$, равен ему:
$$\overset{\frown}{CD}=112^\circ.$$
Тогда дуга $$\overset{\frown}{CBD}$$ равна
$$\overset{\frown}{CBD}=360^\circ-112^\circ=248^\circ.$$
Ответ: $$\overset{\frown}{CD}=112^\circ,\ \overset{\frown}{CBD}=248^\circ.$$
