Упр.764 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Хорды АВ и CD окружности с центром О равны. а) Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и D. б) Найдите дуги с концами С и D, если угол AOB= 112°. Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение: а) (АВ + ВС- МС) + (MD — KD); б) (CB + AC + BD)-(MK + KD).

а) Рассмотрим треугольники $$\triangle ABO$$ и $$\triangle CDO$$. Имеем:

$$OA=OB=OC=OD$$

как радиусы одной окружности, и по условию $$AB=CD$$. Значит, $$\triangle ABO \cong \triangle CDO$$ по трём сторонам. Тогда

$$\angle BOA=\angle COD.$$

Равные центральные углы стягивают равные дуги, следовательно, дуга $$AB$$ равна дуге $$CD$$.

б) Угол $$\angle AOB=112^\circ$$. Так как лучи $$OA$$ и $$OC$$, $$OB$$ и $$OD$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle AOB$$ и $$\angle COD$$ — вертикальные, значит

$$\angle COD=112^\circ.$$

Тогда дуга $$CD$$ равна $$112^\circ$$. Вся окружность составляет $$360^\circ$$, поэтому дуга $$CBD$$ равна

$$360^\circ-112^\circ=248^\circ.$$

Пользуясь правилом многоугольника, упростим выражения.

а)

$$ (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{KD}) $$

Так как $$-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CM}$$ и $$-\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{DK}$$, получаем

$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DK} $$

Сгруппируем:

$$ (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM})+(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DK}) =\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MK} =\overrightarrow{AK}. $$

б)

$$ (\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})-(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KD}) $$

Так как $$\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{MD}$$, а

$$ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}, $$

то

$$ \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{MD} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM} =\overrightarrow{AM}. $$

Ответ

а) дуги $$AB$$ и $$CD$$ равны; б) $$\overset{\frown}{CD}=112^\circ$$, $$\overset{\frown}{CBD}=248^\circ$$; в) $$\overrightarrow{AK}$$; г) $$\overrightarrow{AM}$$.