Упр.763 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду АВ, если: a) уголAOB = 60°; б) угол AOB = 90°; в) угол AOB= 180°. B треугольнике ABC АВ = 6, ВС = 8, угол B = 90°. Найдите: а) |ВА| — |ВС| и |ВА-ВС|; б) |АВ| + |ВС| и |АВ + ВС|; в) |ВА| +|ВС| и |ВА + ВС|; г) |АВ| — |ВС| и |АВ — ВС|.
1) Радиус окружности $$r=16$$, значит $$OA=OB=16$$.
а) Если $$\angle AOB=60^\circ$$, то треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому
$$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$
Следовательно, треугольник $$AOB$$ равносторонний, и
$$AB=OA=OB=16.$$
б) Если $$\angle AOB=90^\circ$$, то треугольник $$AOB$$ прямоугольный. По теореме Пифагора:
$$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{16^2+16^2}=\sqrt{2\cdot 16^2}=16\sqrt{2}.$$
в) Если $$\angle AOB=180^\circ$$, то точки $$A$$, $$O$$, $$B$$ лежат на одной прямой, и
$$AB=OA+OB=16+16=32.$$
2) В треугольнике $$ABC$$ даны $$AB=6$$, $$BC=8$$, $$\angle B=90^\circ$$. Тогда
$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10.$$
а)
$$|BA|-|BC|=6-8=-2,$$
а для векторов
$$|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CA}|=AC=10.$$
б)
$$|AB|+|BC|=6+8=14,$$
а
$$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}|=AC=10.$$
в)
$$|BA|+|BC|=6+8=14,$$
а
$$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{BD}|,$$
где $$D$$ — четвёртая вершина прямоугольника, построенного на векторах $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$. Тогда
$$BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10,$$
значит
$$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=10.$$
г)
$$|AB|-|BC|=6-8=-2,$$
а
$$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{DB}|.$$
По теореме Пифагора
$$DB=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10,$$
следовательно,
$$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}|=10.$$
Ответ
1) $$16$$; $$16\sqrt{2}$$; $$32$$.
2) а) $$-2$$ и $$10$$; б) $$14$$ и $$10$$; в) $$14$$ и $$10$$; г) $$-2$$ и $$10$$.
