Упр.762 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду АВ так, чтобы: a) уголAOB = 60°; б) уголAOB = 90°; в) угол AOB = 120°; г) уголAOB = 180° Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найдите: а) |АВ + ВС|, б) |АВ + АС|; в) |АВ + СВ|; г) |ВА-ВС|; д) |АВ — АС|.

Обозначим радиус окружности через $$R=OA$$.

а) Построим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$AO$$. Точка пересечения этой окружности с данной окружностью обозначим через $$B$$. Тогда

$$OA=OB=AB,$$

значит, $$\triangle AOB$$ равносторонний, поэтому

$$\angle AOB=60^\circ.$$

б) Через точку $$O$$ проведём прямую, перпендикулярную $$OA$$. Точку пересечения этой прямой с окружностью обозначим через $$B$$. Тогда $$OB=OA$$ и $$\angle AOB=90^\circ.$$

в) На луче $$AO$$ отметим точку $$C$$ так, чтобы $$OC=OA$$. Построим окружность с центром в $$C$$ и радиусом $$AO$$. Точку пересечения этой окружности с данной окружностью обозначим через $$B$$. Тогда

$$OA=OB=OC=CB,$$

следовательно, $$\triangle AOB$$ и $$\triangle BOC$$ равносторонние, а значит

$$\angle AOB=120^\circ.$$

г) Проведём через $$O$$ прямую, противоположную лучу $$OA$$. Точку пересечения этой прямой с окружностью обозначим через $$B$$. Тогда точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, а лучи $$OA$$ и $$OB$$ противоположны, поэтому

$$\angle AOB=180^\circ.$$

Теперь рассмотрим равносторонний треугольник $$ABC$$ со стороной $$a$$.

Используем правило сложения и вычитания векторов.

а) $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},$$ поэтому

$$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=a.$$

б) В равностороннем треугольнике сумма векторов $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$ равна диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. Пусть эта диагональ равна $$\overrightarrow{AD}$$. Тогда

$$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=|AD|.$$

Угол между векторами $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ равен $$60^\circ$$, значит

$$|AD|^2=a^2+a^2+2a\cdot a\cos 60^\circ=2a^2+a^2=3a^2,$$

откуда

$$|AD|=a\sqrt{3}.$$

в) Так как $$\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$$, то

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}.$$

В равностороннем треугольнике эта сумма по модулю равна высоте, то есть

$$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\right|=a\sqrt{3}.$$

г) $$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA},$$ поэтому

$$\left|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=a.$$

д) $$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB},$$ значит

$$\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=a.$$

Ответ

Для построения: а) $$\angle AOB=60^\circ$$; б) $$\angle AOB=90^\circ$$; в) $$\angle AOB=120^\circ$$; г) $$\angle AOB=180^\circ$$.

Для векторов: а) $$a$$; б) $$a\sqrt{3}$$; в) $$a\sqrt{3}$$; г) $$a$$; д) $$a$$.