Упр.761 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

1) Пусть даны окружность с центром O и точка A;
2) В середине этого отрезка OA отметим точку M;
3) Из точки O проведем окружность радиуса OM;
4) Отметим B и C на пересечении окружностей;
5) Прямые AB и AC являются касательными. Докажите, что если А, В, С, и D — произвольные точки, то АВ + ВС + CD + DA = 0.

Подробный ответ

Пусть дана окружность с центром $$O$$ и точка $$A$$ вне окружности. Построим середину отрезка $$OA$$ и обозначим её через $$M$$.

Проведём окружность с центром $$M$$ и радиусом $$MO$$. Она пересечёт данную окружность в точках $$B$$ и $$C$$.

Докажем, что прямые $$AB$$ и $$AC$$ — касательные.

Так как $$M$$ — середина отрезка $$OA$$, то $$MO=MA$$. Кроме того, $$OB=MB$$ и $$OC=MC$$ как радиусы окружностей.

Следовательно, точки $$O$$ и $$A$$ равноудалены от точки $$M$$, а точки $$B$$ и $$C$$ лежат на окружности с центром $$M$$. Значит, точки $$B$$ и $$C$$ симметричны относительно прямой $$OM$$, а прямая $$OM$$ является серединным перпендикуляром к хорде $$BC$$.

Из равенства радиусов получаем:

$$OB=MB=MO=MA,$$

поэтому точки $$O, B, M, A$$ лежат на одной окружности. Аналогично точки $$O, C, M, A$$ лежат на одной окружности.

Тогда углы $$\angle OBA$$ и $$\angle OCA$$ опираются на диаметры соответствующих окружностей, значит

$$\angle OBA=90^\circ,\qquad \angle OCA=90^\circ.$$

Следовательно, $$AB \perp OB$$ и $$AC \perp OC$$. А прямая, перпендикулярная радиусу в точке его конца, является касательной к окружности. Значит, $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к данной окружности.