Упр.760 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть A и B-центры окружностей с радиусами R и r, причем R>r, тогда ABAC, R-r+r>AC и R>AC, то есть все точки меньшей окружности лежат внутри большей окружности, что и требовалось доказать.
Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и у справедливо неравенство |x + y|<|x|+|y|.

Подробный ответ

Пусть $$A$$ и $$B$$ — центры окружностей с радиусами $$R$$ и $$r$$, причём $$R>r$$. По условию расстояние между центрами меньше разности радиусов:

$$AB<R-r.$$

Возьмём произвольную точку $$C$$ на меньшей окружности. Тогда $$BC=r$$. По неравенству треугольника для треугольника $$ABC$$ имеем:

$$AC<AB+BC.$$

Подставим сюда известные значения:

$$AC<(R-r)+r=R.$$

Значит, любая точка $$C$$ меньшей окружности находится на расстоянии от $$A$$, меньшем $$R$$, то есть лежит внутри большей окружности. Следовательно, вся меньшая окружность лежит внутри большей.

Ответ

Если $$AB<R-r$$, то меньшая окружность лежит внутри большей.

Ход решения

Пусть $$\vec x$$ и $$\vec y$$ — неколлинеарные векторы. Отложим их от одной точки $$A$$: пусть $$\overrightarrow{AB}=\vec x$$ и $$\overrightarrow{BC}=\vec y$$. Тогда по правилу треугольника

$$\overrightarrow{AC}=\vec x+\vec y.$$

Так как векторы $$\vec x$$ и $$\vec y$$ неколлинеарны, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не лежат на одной прямой, значит, $$ABC$$ — треугольник. По неравенству треугольника:

$$AC<AB+BC.$$

$$|\vec x+\vec y|<|\vec x|+|\vec y|.$$