Упр.760 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите утверждение 5 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей с неравными радиусами меньше разности радиусов, то одна окружность лежит внутри другой окружности.
2. Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов $$\vec{x}$$ и $$\vec{y}$$ справедливо неравенство $$|\vec{x}+\vec{y}|<|\vec{x}|+|\vec{y}|$$.

Пусть $$A$$ и $$B$$ — центры окружностей с радиусами $$R$$ и $$r$$, причём $$R>r$$. По условию

$$AB<R-r.$$

Возьмём произвольную точку $$C$$ на меньшей окружности. Тогда $$BC=r$$. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По неравенству треугольника

$$AB+BC>AC.$$

Так как $$AB<R-r$$ и $$BC=r$$, то

$$AC<AB+BC<(R-r)+r=R.$$

Значит, для любой точки $$C$$ меньшей окружности выполняется $$AC<R$$, то есть эта точка лежит внутри большей окружности. Следовательно, вся меньшая окружность лежит внутри большей.