Упр.76 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые? Отрезок АВ длины а разделён точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР — 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между: а) точкой А и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков АР и QB.
Если через каждую точку пересечения проходят только две прямые, то каждая пара прямых даёт одну точку пересечения. Число таких пар равно
$$\binom{4}{2}=6.$$
Значит, четыре прямые имеют $$6$$ точек пересечения.
Обозначим середины отрезков $$AP$$ и $$QB$$ точками $$D$$ и $$C$$ соответственно. Тогда
$$AP=2PQ=2QB.$$
Отсюда
$$PQ=QB,$$
а значит,
$$PB=PQ+QB=2PQ.$$
Так как $$AP=2PQ$$ и $$PB=2PQ,$$ то
$$AP=PB,$$
следовательно, точка $$P$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда
$$AP=PB=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}.$$
Из равенства $$PQ=QB$$ получаем
$$PQ=QB=\frac{1}{2}PB=\frac{a}{4}.$$
a) Найдём расстояние от точки $$A$$ до середины отрезка $$QB$$, то есть до точки $$C$$:
$$AC=AP+PQ+QC.$$
Так как $$C$$ — середина $$QB,$$ то
$$QC=\frac{QB}{2}=\frac{a}{8}.$$
Тогда
$$AC=\frac{a}{2}+\frac{a}{4}+\frac{a}{8}=\frac{7a}{8}.$$
б) Найдём расстояние между серединами отрезков $$AP$$ и $$QB,$$ то есть $$DC$$:
$$DC=DP+PQ+QC.$$
Так как $$D$$ — середина $$AP,$$ то
$$DP=\frac{AP}{2}=\frac{a}{4}.$$
Кроме того,
$$QC=\frac{a}{8}, \qquad PQ=\frac{a}{4}.$$
Следовательно,
$$DC=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{8}=\frac{5a}{8}.$$
Ответ
$$6; \quad \frac{7a}{8}; \quad \frac{5a}{8}.$$
