Упр.758 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите утверждение 2 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, то окружности касаются внешним образом.
2. Начертите два ненулевых коллинеарных вектора $$a$$ и $$b$$ так, чтобы $$|a| \ne |b|$$. Постройте векторы: а) $$a-b$$; б) $$b-a$$; в) $$-a+b$$. Выполните ещё раз построение для случая, когда $$|a|=|b|$$.

Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны и направлены в одну сторону, причём $$|\vec a|\ne|\vec b|$$. Тогда при вычитании векторов получаем вектор, направленный вдоль той же прямой, а его длина равна разности длин данных векторов.

Если отложить векторы на одной прямой с общим началом, то:

• $$\vec a-\vec b$$ — это вектор, направленный в сторону большего из векторов, с длиной $$|\vec a|-|\vec b|$$, если $$|\vec a|>|\vec b|$$;
• $$\vec b-\vec a$$ — вектор противоположного направления, с длиной $$|\vec b|-|\vec a|$$;
• $$-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a$$.

Теперь рассмотрим случай $$|\vec a|=|\vec b|$$. Тогда векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ равны по длине и коллинеарны, значит они либо равны, либо противоположно направлены. В обоих случаях

$$\vec a-\vec b=\vec 0,\qquad \vec b-\vec a=\vec 0,\qquad -\vec a+\vec b=\vec 0.$$

Следовательно, при $$|\vec a|=|\vec b|$$ все три построенных вектора совпадают с нулевым вектором.

Ответ: при $$|\vec a|=|\vec b|$$ в результате построения получается $$\vec 0$$.