Упр.757 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В угол, равный $$60^\circ$$, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен $$r$$. Найдите радиус большей окружности.
Начертите векторы $$х$$, $$у$$ и $$z$$ так, чтобы $$х\parallel у$$, $$х\parallel z$$. Постройте векторы $$х+у$$, $$у-z$$, $$х+z$$.

Подробный ответ

Пусть центры окружностей — точки $$A$$ и $$B$$, а точки касания с сторонами угла — $$E$$, $$F$$ и $$K$$. Тогда $$AE=AK=r$$, $$BF=BK=R$$.

Так как окружности касаются друг друга внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме радиусов:

$$AB=R+r.$$

Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, точка $$A$$ лежит на биссектрисе угла $$C$$, значит

$$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle C=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACE$$. В нём $$\angle E=90^\circ$$, $$\angle ACE=30^\circ$$, поэтому катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$AC=2AE=2r.$$

Тогда

$$BC=AC+AB=2r+(R+r)=3r+R.$$

Аналогично, точка $$B$$ лежит на биссектрисе угла $$C$$, поэтому в прямоугольном треугольнике $$BCF$$ имеем $$\angle F=90^\circ$$ и $$\angle C=30^\circ$$. Следовательно,

$$BC=2BF=2R.$$

Приравниваем полученные выражения для $$BC$$:

$$3r+R=2R,$$

откуда

$$R=3r.$$

Ответ: $$3r$$.