Упр.756 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Три равные окружности радиуса $$r$$ касаются друг друга внешним образом. Найдите стороны и углы треугольника, вершинами которого являются: а) центры данных окружностей; б) точки касания данных окружностей.
2. Начертите попарно неколлинеарные векторы $$x$$, $$y$$, $$z$$ и постройте векторы $$x-y$$, $$z-y$$, $$x-z$$, $$-x$$, $$-y$$, $$-z$$.

1) Рассмотрим треугольник $$ABC$$, где $$A, B, C$$ — центры окружностей. Так как окружности равны и касаются внешним образом, то расстояния между их центрами равны сумме радиусов:

$$AB=AE+BE=r+r=2r,$$

$$BC=BD+CD=r+r=2r,$$

$$AC=AF+CF=r+r=2r.$$

Значит, $$AB=BC=AC=2r$$, то есть треугольник $$ABC$$ равносторонний. Следовательно,

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$

2) Рассмотрим треугольник $$EDF$$, где $$E, D, F$$ — точки касания. Отрезки $$ED$$, $$DF$$ и $$FE$$ соединяют точки касания равных окружностей, поэтому каждый из них равен расстоянию между соответствующими центрами, делённому на 2:

$$DF=\frac{BC}{2}=\frac{2r}{2}=r,$$

$$DE=\frac{AC}{2}=\frac{2r}{2}=r,$$

$$FE=\frac{AB}{2}=\frac{2r}{2}=r.$$

Значит, $$DF=DE=FE=r$$, то есть треугольник $$EDF$$ тоже равносторонний. Поэтому

$$\angle E=\angle D=\angle F=60^\circ.$$

Ответ: а) $$AB=BC=AC=2r$$, $$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$$; б) $$FE=DE=DF=r$$, $$\angle E=\angle D=\angle F=60^\circ$$.