Упр.749 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезок $$AH$$ — перпендикуляр, проведённый из точки $$A$$ к прямой, проходящей через центр $$O$$ окружности радиуса $$3\text{ см}$$. Является ли прямая $$AH$$ касательной к окружности, если:
а) $$OA=5\text{ см}$$, $$AH=4\text{ см}$$;
б) $$\angle HAO=45^\circ$$, $$OA=4\text{ см}$$;
в) $$\angle HAO=30^\circ$$, $$OA=6\text{ см}$$?
Точки $$S$$ и $$T$$ являются серединами боковых сторон $$MN$$ и $$LK$$ равнобедренной трапеции $$MNLK$$. Равны ли векторы:
а) $$\overrightarrow{NL}$$ и $$\overrightarrow{KL}$$;
б) $$\overrightarrow{MS}$$ и $$\overrightarrow{SN}$$;
в) $$\overrightarrow{MN}$$ и $$\overrightarrow{KL}$$;
г) $$\overrightarrow{TS}$$ и $$\overrightarrow{KM}$$;
д) $$\overrightarrow{TL}$$ и $$\overrightarrow{KT}$$?

Подробный ответ

а) Так как $$AH \perp OH$$, треугольник $$AOH$$ прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$OH^2=AO^2-AH^2=5^2-4^2=25-16=9,$$

значит, $$OH=3\text{ см}.$$ Это радиус окружности, следовательно, $$H$$ лежит на окружности, а прямая $$AH$$, перпендикулярная радиусу в точке касания, является касательной.

б) $$\angle HAO=45^\circ,$$ а так как $$AH \perp OH,$$ то $$\angle AHO=90^\circ.$$ Тогда $$\angle HOA=45^\circ,$$ и треугольник $$AOH$$ равнобедренный, значит, $$AH=OH.$$

Пусть $$OH=x.$$ Тогда $$AH=x,$$ и по теореме Пифагора:

$$AO^2=AH^2+OH^2=x^2+x^2=2x^2.$$

Так как $$AO=4\text{ см},$$ получаем

$$2x^2=16,\quad x^2=8,\quad x=2\sqrt2.$$

Следовательно, $$OH=2\sqrt2\text{ см}\ne 3\text{ см},$$ значит, $$AH$$ не является касательной.

в) В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ угол $$\angle HOA=30^\circ,$$ поэтому катет, лежащий против угла $$30^\circ,$$ равен половине гипотенузы:

$$AH=\frac12 AO=\frac12\cdot 6=3\text{ см}.$$

Тогда по теореме Пифагора:

$$OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt3.$$

Но $$OH\ne 3\text{ см},$$ значит, $$AH$$ не является касательной.