Упр.748 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ угол $$A = \angle D = 90^\circ$$. Докажите, что:
а) прямая $$AD$$ является касательной к окружности с центром $$B$$ радиуса $$AB$$;
б) прямая $$CD$$ является касательной к окружности с центром $$A$$ радиуса $$AD$$;
в) прямая $$CD$$ не является касательной к окружности с центром $$B$$ радиуса $$BC$$. - Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Равны ли векторы:
а) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$;
б) $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$;
в) $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$;
г) $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$?
Ответ обоснуйте.
Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$.
Решение
В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, значит $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$ сонаправлены и равны по длине. Следовательно,
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$$
Аналогично, $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$ сонаправлены и равны по длине, но направления у них противоположные, поэтому
$$\overrightarrow{BC}\ne\overrightarrow{DA}.$$
Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, значит $$O$$ — середина диагонали $$AC$$. Тогда векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$ равны:
$$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}.$$
Векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ лежат на разных диагоналях параллелограмма, поэтому они не коллинеарны. Следовательно, равными быть не могут:
$$\overrightarrow{AC}\ne\overrightarrow{BD}.$$
Ответ
а) да; б) нет; в) да; г) нет.
