Упр.747 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка A1B1. Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами: а) параллелограмма MNPQ; б) трапеции ABCD с основаниями AD и ВС; в) треугольника FGH. Укажите среди них пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.

1) Так как $$AA_1 \perp l$$ и $$BB_1 \perp l$$, то $$AA_1 \parallel BB_1$$ как перпендикуляры к одной и той же прямой.

Следовательно, четырехугольник $$AB_1CA_1$$ — трапеция, а так как $$OC \perp l$$, то $$OC \parallel AA_1 \parallel BB_1$$.

Кроме того, $$OA=OB$$, поскольку $$O$$ — центр окружности, а $$AB$$ — диаметр. Значит, точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$.

В трапеции отрезок, соединяющий середины оснований и параллельный боковым сторонам, проходит через середину любой средней линии. По теореме Фалеса из параллельности $$AA_1 \parallel OC \parallel BB_1$$ и равенства $$OA=OB$$ получаем, что $$C$$ — середина отрезка $$A_1B_1$$.

Итак, $$A_1C=CB_1$$, то есть точка касания $$C$$ является серединой отрезка $$A_1B_1$$.

2) Выпишем пары коллинеарных векторов.

а) Для параллелограмма $$MNPQ$$:

Коллинеарные: $$\overrightarrow{MN}$$ и $$\overrightarrow{PQ}$$; $$\overrightarrow{NP}$$ и $$\overrightarrow{MQ}$$; $$\overrightarrow{PN}$$ и $$\overrightarrow{QM}$$; $$\overrightarrow{NM}$$ и $$\overrightarrow{QP}$$.

Сонаправленные: $$\overrightarrow{MN}$$ и $$\overrightarrow{PQ}$$; $$\overrightarrow{NP}$$ и $$\overrightarrow{QM}$$; $$\overrightarrow{NM}$$ и $$\overrightarrow{QP}$$; $$\overrightarrow{PN}$$ и $$\overrightarrow{MQ}$$.

Противоположно направленные: $$\overrightarrow{MN}$$ и $$\overrightarrow{QP}$$; $$\overrightarrow{NP}$$ и $$\overrightarrow{MQ}$$; $$\overrightarrow{NM}$$ и $$\overrightarrow{PQ}$$; $$\overrightarrow{PN}$$ и $$\overrightarrow{QM}$$.

б) Для трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$:

Коллинеарные: $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$; $$\overrightarrow{CB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$; $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$; $$\overrightarrow{CB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$.

Сонаправленные: $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$; $$\overrightarrow{CB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$.

Противоположно направленные: $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$; $$\overrightarrow{CB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$.

в) Для треугольника $$FGH$$:

Коллинеарных векторов нет.

Ответ

Точка касания $$C$$ является серединой отрезка $$A_1B_1$$.

а) $$\overrightarrow{MN} \parallel \overrightarrow{PQ},\ \overrightarrow{NP} \parallel \overrightarrow{MQ},\ \overrightarrow{PN} \parallel \overrightarrow{QM},\ \overrightarrow{NM} \parallel \overrightarrow{QP}$$; сонаправленные: $$\overrightarrow{MN}$$ и $$\overrightarrow{PQ}$$, $$\overrightarrow{NP}$$ и $$\overrightarrow{QM}$$, $$\overrightarrow{NM}$$ и $$\overrightarrow{QP}$$, $$\overrightarrow{PN}$$ и $$\overrightarrow{MQ}$$; противоположно направленные: $$\overrightarrow{MN}$$ и $$\overrightarrow{QP}$$, $$\overrightarrow{NP}$$ и $$\overrightarrow{MQ}$$, $$\overrightarrow{NM}$$ и $$\overrightarrow{PQ}$$, $$\overrightarrow{PN}$$ и $$\overrightarrow{QM}$$.

б) $$\overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CB} \parallel \overrightarrow{DA}$$; сонаправленные: $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$, $$\overrightarrow{CB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$; противоположно направленные: $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$, $$\overrightarrow{CB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$.

в) Коллинеарных векторов нет.