Упр.747 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из концов диаметра $$AB$$ данной окружности проведены перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру $$AB$$. Докажите, что точка касания является серединой отрезка $$A_1B_1$$.
2. Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами: а) параллелограмма $$MNPQ$$; б) трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$; в) треугольника $$FGH$$. Укажите среди них пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Из концов диаметра $$AB$$ проведены перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ к касательной $$l$$. Так как $$AA_1 \perp l$$ и $$BB_1 \perp l$$, то

$$AA_1 \parallel BB_1.$$

Следовательно, четырёхугольник $$AABB_1A_1$$ имеет одну пару параллельных сторон, а его боковые стороны лежат на перпендикулярах к одной и той же прямой.

Пусть $$C$$ — точка касания окружности и прямой $$l$$. Тогда радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит

$$OC \perp l.$$

Так как $$AA_1 \perp l$$ и $$OC \perp l$$, то

$$AA_1 \parallel OC,$$

аналогично

$$BB_1 \parallel OC.$$

Отсюда точки $$A_1,\, C,\, B_1$$ лежат на одной прямой, параллельной $$OC$$. Кроме того, $$OA=OB$$ как радиусы окружности, а $$O$$ — середина диаметра $$AB$$. Значит, прямая $$OC$$ является средней линией трапеции $$AA_1B_1B$$, поэтому она проходит через середину отрезка $$A_1B_1$$.

Следовательно, точка касания $$C$$ является серединой отрезка $$A_1B_1$$, то есть

$$A_1C=CB_1.$$