Упр.746 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямые \(MA\) и \(MB\) касаются окружности с центром \(O\) в точках \(A\) и \(B\). Точка \(C\) симметрична точке \(O\) относительно точки \(B\). Докажите, что $$\angle AMC = 3\angle BMC$$.
- Основание \(AD\) прямоугольной трапеции \(ABCD\) с прямым углом \(A\) равно 12 см, \(AB = 5\) см, угол \(D = 45^\circ\). Найдите длины векторов $$\overrightarrow{BD},\ \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{AC}$$.
Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$C$$ на прямую $$AD$$. Тогда $$CH=AB=5$$ см, так как $$ABCD$$ — прямоугольная трапеция и $$AB \perp AD$$, а также $$BC \parallel AD$$.
Найдём длину диагонали $$BD$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABD$$:
$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ см}.$$
Так как $$\angle D=45^\circ$$, то в прямоугольном треугольнике $$CHD$$ имеем $$\angle CHD=90^\circ$$ и $$\angle CDH=45^\circ$$, значит треугольник $$CHD$$ равнобедренный. Следовательно,
$$CH=HD=5\text{ см}.$$
Тогда
$$AH=AD-HD=12-5=7\text{ см}.$$
Поскольку $$BC \parallel AD$$, то $$BC=AH=7$$ см.
Теперь найдём $$CD$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$CHD$$:
$$CD=\sqrt{CH^2+HD^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\text{ см}.$$
И, наконец, в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:
$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}\text{ см}.$$
Ответ: $$|BD|=13\text{ см},\ |CD|=5\sqrt{2}\text{ см},\ |AC|=\sqrt{74}\text{ см}.$$
