Упр.743 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Радиус $$OM$$ окружности с центром $$O$$ делит хорду $$AB$$ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку $$M$$, параллельна хорде $$AB$$.
2. Начертите ненулевой вектор $$\vec a$$ и отметьте на плоскости три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Отложите от точек $$A$$, $$B$$ и $$C$$ векторы, равные $$\vec a$$.

Рассмотрим окружность с центром $$O$$ и хорду $$AB$$. По условию радиус $$OM$$ проходит через середину хорды, значит точка $$O_1$$ — середина отрезка $$AB$$.

Тогда в треугольнике $$AOB$$ имеем $$OA=OB$$ как радиусы одной окружности. Следовательно, треугольник $$AOB$$ равнобедренный, а отрезок $$OO_1$$, проведённый к середине основания $$AB$$, является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию одновременно является высотой, значит

$$OO_1 \perp AB.$$

Но точки $$O, O_1, M$$ лежат на одной прямой, поэтому $$OM \perp AB$$.

Касательная $$p$$, проведённая к окружности в точке $$M$$, перпендикулярна радиусу $$OM$$. Значит,

$$p \perp OM.$$

Так как две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, то

$$p \parallel AB.$$